顾沛：数学文化[视频]

教师之友网

数学文化与美学




数学的面孔不是繁难怪异，数学的根本作用不是显示虚空的屠龙之技，不是市井生活中的盘算结账，也不是为了增加考试评价中的分值权重。数学是一种智慧，这种智慧应伴随我们的一生，这智慧包容有数和形的美妙、具体和抽象的思辨、建设和超越的精神。我试图从数学的美、数学的理性、数学的精神三个方面感悟其蕴藏的智慧，思考我们的数学教育。
一、数学是美的，其中蕴藏一种至简至和的智慧
“哪里有数，哪里就有美。”这是古代哲学家、数学家普洛克拉斯的论断。亲和数、联谊数、完美数、勾股数……引得人们痴迷其中，这是数的美。
“数学是这个世界之美的原型。”这是近代科学家开普勒的观点。四叶玫瑰线、对数螺线、墨比乌斯曲面、完美无缺的圆……诱得人们倾心于此，这是形的美。
我们发现：数学不是符号、图形的重复呈现，也不是定理、公式的复杂关联。透过符号和图形、定理和公式我们发现数学之美：美在简洁、美在奇异、美在
统一、美在和谐。
简洁是数学美的首要标志。数学拥有一套最简洁的符号语言，它用最简洁的方式揭示自然的客观规律，构建数学的大厦。在英国科学杂志《物理世界》发起的世界“最伟大的公式”投票活动中，全球读者按照典雅性、引申力和影响力的投票要求，选出他们认为最重要、最伟大的公式和定理。入选的十大公式定理中，“1+1=2”这个最基本数学公式名列第七。这是数学简洁美的体现，这是人们对简洁美的推崇。
我们的数学教育从“1+1=2”中得到的启示是什么呢?在数学教育教学中，我们不是训练学生记忆累积的能力，而应是化归求简的能力，掌握最基础的，才能把握更深奥的。我们的教育教学应注重基础，提炼出最基本、最本质、最简约的内容，而不是一味追求繁难高深。
和谐是数学美的终极境界。和谐，使我们想到em+1=0，这个公式位于2003年世界自然科学界十大最美公式评选的榜首。公式中的“1”是自然数中最基本的正整数，“0”是复数系中最关键的整数，“丌、e”是最重要的无理数，“i”是虚数单位，复数系中五个最重要、最特殊的数和谐地统一在一个等式之中。
“0．618”也为我们带来了图形中神奇的和谐美，而方程(x-a)2+(y-6)2=r2，竟是一个圆的注脚。我们在感悟到数的和谐、感悟到形的和谐的同时，还深深地感悟到数与形之间美妙的和谐。
在数学教育教学中，我们应让学生感悟数学不是孤立对抗的，也不是零散杂乱的，数学是一个和谐的整体，只是我们认识能力的局限和表述的需要，才把数学分割成数、形等一个个部分。我们的数学教育，是让学生感受到数学之简洁，而不是繁琐；感受到数学之和谐，而不是怪异。我们的数学教育要使学生感受数学之妙而从中体验审美，并建立数学的和谐观、数学的结构观。
在这简洁，和谐的数学之美中更多的是一种数学理性之美，数学是一门“既美且真”的科学，，数学不仅仅具有知识美，还具有内在的思想方法美。
二、数学是理性的，其中蕴藏一种至真至通的智慧
在人类文明的进程中，我们思想中压倒一切的是数学的理性。只要人类文明不断进步，压倒一切新鲜事物的依然是数学理智的统治。
数学的理性首先是一种“真”。数学一直被奉为真理的典范，科学巨匠爱因斯坦曾这样表述：“为什么数学比其他的一切科学受到尊重，一个理由是，它的命题是绝对可靠的和无可争辩的，而其他一切科学的命题在某种程度上都是可争辩的，并且经常处
于被发现的事实推翻的危险之中。还有另一个理由，那就是数学给予精密自然科学以某种程度的可靠性，没有数学，这些科学是达不到这种可靠性的。”
我们知道在第二次世界大战中，盟军为减少海上战略物资遭德军潜艇的袭击，曾借用数学家的智慧设计海上运输方案，结果创造了一位数学家胜过一个师的神奇。如今，我们看到在现代中外著名的企业、财团中出现了数学家的身影。数学这种理性的智慧是真实的历史，是真切的现实。
对于数学是理性的，我们不能流于考据和阐释。在数学教育教学中，我们不能把数学的理性智慧简单地理解成数学是机械的思维训练，更不是单一的解题训练，也不能使数学陷于琐细浅层的实用，应重在引领学生对数学智慧(数学思想方法)的感悟。
数学的理性还具备“通”。数学化成了科学理论建立的标志，正如伟大哲人马克思的著名论断：“一种科学只有成功地运用数学时，才算真正达到完善的程度。”在经济上，数学在推动可持续发展、在技术转移中等方面都有不可替代的作用。在军事上，有人这样认为，第一次世界大战是一场化学战，第二次世界大战是一场物理战，而九十年代发生的海湾战争已是一场不折不扣的数学战。在哲学上，数学与辩证法几乎是一对孪生姊妹。综观现代科技几乎是一种数学技术的体现，进一步体现出数学是科学的本质。
我们的数学教育应感悟数学思想而从中学会思考，沐浴数学的理性之光，开拓数学的应用领域。否则学生将不会用数学的眼光观察生活、理解生活、创造生活，那我们所进行的如同是教动物小熊做计算题的杂耍表演，而不是数学教育。
泽被后人的数学，不仅仅是“真”与“通”的理性智慧，更深层的是一种数学精神。
三、数学是一种精神，其中蕴藏一种创造探索的智慧
数学一直体现一种前所未有的探索精神和创新精神，在探索创新中蕴藏累积新的智慧。有人曾这样比较数学和其他科学：“在大多数科学里，一代人要推倒另一代人所修筑的东西，一个人所树立的另一个人要加以摧毁。只有数学，每一代人都能在旧建筑上增添一层楼。”人类文明发展史中，数学大厦愈发坚固，数学之树愈发葱茏，乃是一代代数学家、数学工作者建设与超越的精神智慧。
数学的创造性智慧，源于它是一种创造性的活动，这种创造性不是推翻已有的大厦重建，而是在原有的基础上添砖加瓦，即便是另立高楼，那也会在新楼与旧楼之间构造回廊。新楼、旧楼成为一体，数学大厦的根基更加牢固。
数学的发展史是一种探索史，数学发展过程中不断出现矛盾，唯有探索才能解决数学中的根本矛盾。数学史上曾发生过三次数学危机，每一次危机的发生都是数学智慧的生长，每一次危机的解决都是数学智慧的超越。
我们的数学史教育，不必在数学史实数学材料上过于增加学生记忆的负担，若干年后也许学生记不起三次数学危机的具体内容，但其中数学家探索的精神智慧一定会影响学生的一生。我们的数学学习应追求一种智慧，在知识与技能的教学中，适时介绍知识产生的背景，学习数学家探求的精神。在过程与方法的教学中，有意提炼、感悟数学的思想方法。一个人学习数学，不是为了“记住”数学，即便把数学都“还给”老师了，而学习数学过程中领悟的思想和方法、数学的精神，作为一种品格力量，将造就我们智慧的人生。
“数学是人类最高超的智力成就，也是人类心灵最独特的创作。”(克莱因语)正是数学给了人类美的智慧、真的智慧、创造探索的智慧。数学是科学之母，现代人更需要数学式思维，更需要数学的智慧。人们通过数学领悟世界的真谛，数学的对象和问题是不可穷尽的，数学之树是常青的，数学的智慧是生长不息的，我们的数学教育对数学智慧的感悟也将是不止的。

教师之友网

数学文化的魅力来源：天津日报

    顾沛教授，南开大学数学科学学院副院长，天津市数学会常务副理事长。1945年生人，1963年考入北京大学数学力学系，1978年考入南开大学数学系攻读研究生。获硕士学位后留校任教至今。2002年获得由陈省身设立的首届“吴大任——熊知行数学教学奖”。2003年9月，教育部授予顾沛教授首届高等学校“国家级教学名师”的称号。


    3月22日，由天津科技传播发展基金委员会、天津市科协联合主办，天津市教研室、天津科技馆、天津日报《经济周刊》承办的科普科学报告会“感悟数学之美”在天津科技咨询大厦报告厅举行。为活跃科技推动天津经济发展的氛围，普及科学技术知识，传播科学思想，主办方已经成功举行了四期系列报告会，均受到了与会者的热情参与和好评，取得了良好的社会反响。

    此次报告会是主办方在2007年举办的第二场科普报告会，由南开大学数学系教授顾沛主讲。展现数学文化之美，感受数学的人文情怀是报告会贯穿始终的精髓。顾沛教授从不同侧面展示了数学的简洁美、和谐美、对称美与奇异美，使与会者感受到了数学文化的魅力所在。

    从“数学文化”谈起

    在报告会的开始，顾教授以陈省身先生设计出版的“数学之美”挂历为背景，表达了对这位已故数学大师的敬仰。顾教授谈道，“作为国内提倡‘数学之美’的先行者，陈省身先生不仅具有高深的数学科研知识，同时也大力提倡数学的美应当为大众所了解，鼓励青少年喜欢数学，学好数学，为我国数学文化的发展做出了巨大贡献。”

    据顾教授介绍，陈省身先生曾在第二届“走进美妙的数学花园”论坛中提出：“让青少年对数学有一个全面的了解，感受数学好玩、数学之美和数学是有用的。”这同时也反映出了数学文化的重要意义与人文价值。

    当谈到“数学文化”一词的使用时，顾教授说：“‘数学文化’一词，最近五六年才用得多起来。对许多人来说，‘数学文化’一词还是陌生的。而这个词的使用频率近年大大增加，说明它是有生命力的，说明许多人为着某种需要更愿意从文化这一角度来关注数学，更愿意强调数学的文化价值。”

    顾教授认为，在“数学文化”一词被日益广泛地使用的同时，“物理文化”、“化学文化”这样类似的词汇，并没有得到广泛的使用。“这表明，数学科学的确在本质上有不同于物理科学、化学科学等自然科学的地方。数学，具有超越具体科学和普遍适用的特征，具有公共基础的地位，”顾教授特别指出，“不同的社会现象和自然现象，可能遵循同样的数学规律，这反映出社会现象与自然现象在数量关系上的共性。数学超越了具体的社会科学和自然科学，也成为联系社会科学和自然科学的纽带。”

   “狭义的数学文化指的是数学思想、精神、方法、观点、语言，以及它们的形成和发展。而广义的涵义除上述内容以外，还包含数学史，数学美，数学教育，数学与人文的交叉，数学与各种文化的关系，”谈到数学文化的内涵时，顾教授强调，“数学作为一种文化，已日益融入现代人的生活之中，数学文化已成为现代人文化素质的一部分。”

教师之友网

数学是一种思维模式

    数学不仅是一种重要的“工具”，也是一种思维模式，即“数学方式的理性思维”；数学不仅是一门科学，也是一种文化，即“数学文化”；数学不仅是一些知识，也是一种素质，即“数学素质”，数学素养使人终身受益。这是本次报告会中，顾沛教授关于学习数学的指导思想。
　　
    顾教授谈道，“在一个人的学历教育中，从小学一年级到大学一年级，一般要学十三年的数学课程，但许多人并未因此就掌握数学的精髓，学习到数学方式的理性思维。”相反，顾教授认为，大多数学生仍然对数学的思想、精神了解得较肤浅，对数学的宏观认识和总体把握较差，误以为学数学就是为了会做题、能应付考试，不知道“数学方式的理性思维”的重大价值，不了解数学在生产、生活实践中的重要作用，不理解数学文化与诸多文化的交汇。

   “大学生毕业后走入社会，如果不是在与数学相关的领域工作，他们学过的具体的数学定理、公式和解题方法可能大多用不上，以至很快就忘记了；而他们有所欠缺的数学素养，反而是数学让人终生受益的精华。”顾教授说。

    在谈到数学思维、数学素养的重要性时，顾教授引用了日本学者米山国藏的一段话：“因为不管人们从事什么工作，深深铭刻在头脑中的数学的思想精神、数学的思维方法和看问题的着眼点等，都会随时随地发生作用，使人们终生受益。”因此，顾教授在报告会中强调应当提倡发展数学素质教育，这应当成为当今数学教育者工作的重点和努力方向。

    目前，在新课程的教学过程中，讲究“知识与技能”、“过程与方法”以及“情感、态度、价值观”的三维目标的实现。顾教授指出，如果在教学中渗透数学文化，会有利于“三维目标”的实现。他同时对与会的数学教育工作者寄予了期望，“教师如果在教学中自然而然地渗透数学文化，‘润物细无声’，就非常有利于三维目标的实现，非常有利于学生的全面发展和长远发展。也可以说，这就是数学课堂教学中的素质教育。”

    数学历史轨迹中的经典

   “在生产和生活的很多实践中都可以发现和感悟到数学之美。”顾教授说。他从数学问题、数学典故、数学方法、数学观点、数学思想五个角度切入，列举了数学发展过程中的经典案例和与会者一起分享。

    重点提到的是数学发展历史过程中的三次危机。第一次数学危机是由不能将2写成两个整数之比引发的。这一危机发生在公元前5世纪，当时认为所有的数都能表示为整数比，但突然发现2不能表示为整数比。其实质是2是无理数，全体整数之比构成的是有理数系，有理数系需要扩充，要添加无理数。彻底解决这一危机是在19世纪，依赖实数理论的建立。

教师之友网

“第二次数学危机发生在牛顿创立微积分的17世纪”，顾教授讲道，第一次数学危机是由毕达哥拉斯学派内部提出的，第二次数学危机则是由英国大主教贝克莱(ＢｉｓｈｏｐＢｅｒｋｅｌｙ)提出的，是对牛顿“无穷小量”说法的质疑引起的。

    危机的消解来自给出了极限的准确描述，消除了历史上各种模糊的用语，诸如“最终比”、“无限地趋近于”，等等。这样一来，分析中的所有基本概念都可以通过实数和它们的基本运算及关系精确地表述出来。

    顾教授谈道，第三次数学危机罗素悖论则成就了“数学基础”的曙光——集合论，到19世纪，数学从各方面走向成熟。人们水到渠成地思索：整个数学的基础在哪里？正在这时，19世纪末，集合论出现了。人们感觉到，集合论有可能成为整个数学的基础。1922年，弗兰克加进一条公理，还把公理用符号逻辑表示出来，这样，大体完成了由朴素集合论到公理集合论的发展过程，悖论消除了。

   “数学的发展有顺利也有曲折。危机也意味着挑战，解决危机就意味着进步。所以，危机往往是数学发展的先导。每一次数学危机，都是数学的基本部分受到质疑。实际上，也恰恰是这三次危机，引发了数学史上的三次思想解放，大大推动了数学科学的发展。”顾教授说。

   “勾股定理”、“蒲丰投针”、“阿基里斯追乌龟”这些数学典故也被顾教授讲述得绘声绘色，同时还将类比、抽象、归纳等这些数学思想穿插其中，使数学这门严肃的科学立刻生动立体起来，使与会者真正感悟到了数学真谛。

    顾教授最后表示，“这些例子虽然并不是从学校的教材中选来的，但参加报告会的老师们可以由此拓宽思路后，举一反三，从各自教学的材料中找到许多类似的例子，丰富自身的数学文化教学；对于不是教师的听众，也一定能从生活、生产实践中，找到许多类似的例子，由此提高数学素养，透过现象看本质，感悟到数学之美。”

教师之友网

讲义见附件              

　　附件： 20100614095458454.doc

教师之友网

数学文化及其应用

北京大学数学科学院教授　张顺燕

    数学既不严峻，也不遥远，它既和所有的人类活动有关，又对每一个真正感兴趣的人有益。

　　R．C．Buck

　　数学的传奇就是攀登智慧之山的传奇。

　　J．N．Kapur

　　诗人对宇宙人生，须入乎其内，又须出乎其外。入乎其内，故能写之。出乎其外，故能观之。入乎其内，故有生气。出乎其外，故有高致。

　　王国维

　　数学是研究现实世界中的数量关系与空间形式的一门科学。由于实际的需要，数学在古代就产生了，现在已发展成一个分支众多的庞大系统。数学与其他科学一样，反映了客观世界的规律，并成为理解自然、改造自然的有力武器。

　　对任何一门科学的理解，单有这门科学的具体知识是不够的，那怕你对这门科学的知识掌握得足够丰富，还需要对这门学科的整体有正确的观点，需要了解这门学科的本质。我们的目的就是从历史的、哲学的和文化的高度给出关于数学本质的一般概念。今从以下几个方面来谈这个问题。

一、数学与美

　　中国古代著名哲学家庄子说：“判天地之美，析万物之理。”日本物理学家，诺贝尔奖得主汤川秀树把这两句话印在他的书的扉页上，作为现代物理的指导思想及最高美学原则。这两句话也是我们学习与研究数学的指导思想和最高美学原则。通过本讲座，我们将展现数学精神的魅力，阐述数学推理之妙谛。但数学之美的面纱是慢慢揭开的，数学推理的妙谛是逐渐展现的。这涉及到科学与艺术的关系，而艺术与科学的联系是天然的。实际上，一切科学、哲学、数学和艺术的研究对象不外乎，天──大宇宙；地，自然界及其中一切动植物──中宇宙；人──最精密、最完善的小宇宙。既然科学和艺术的研究对象是相同的，所以它们必然是相辅相成的两个领域。著名物理学家李政道说得好：“科学和艺术是不可分割的，正像一枚硬币的两面。它们共同的基础是人类的创造力，它们追求的目标都是真理的普遍性。”

顺便指出，数学本身就是美学的四大构件之一。这四大构件是，史诗、音乐、造型（绘画、建筑等）和数学。因而数学教育是审美素质教育的一部分。

数学追求的目标是，从混沌中找出秩序，使经验升华为规律，将复杂还原为基本。所有这些都是美的标志。但长期以来，我们忽视对数学的美的教育。讲述数学之美有利于培养鉴赏力。值得注意的是，在历史上，重大课题的选择与结果的评价，美学价值是一个重要的标准。例如，正电子的猜想便是狄拉克从数学对称美的角度大胆预言出来的。他唯一的根据就是从电子运动的方程得出正负两个解。几年之后，这个预言得到了物理学家的证实。狄拉克后来说：“理论物理学家把数学美的要求当作信仰的行为，它没有什么使人非信不可的理由，但过去已经证明了这是有益的目标。”

为什么把美看得这样重要？因为人类的生存是按照美的原则来构建世界的。发现美、认识美和运用美，这是人类生存的要求。反过来，美又是人类进步的动力。追求美的实质就是追求自然界的数学美。人类一步一步地揭示自然界的数学规律，人类就越了解我们所处的宇宙的美。希腊箴言说，美是真理的光辉。因而追求美就是追求真。英国诗人济慈写道：

　　美就是真，

　　真就是美—这就是

　　你所知道的，

　　和你应该知道的。

　　法国数学家阿达玛说：“数学家的美感犹如一个筛子，没有它的人永远成不了数学家。”可见，数学美感和审美能力是进行一切数学研究和创造的基础。

　　那么，什么是美呢？美有两条标准：一、一切绝妙的美都显示出奇异的均衡关系（培根），二、“美是各部分之间以及各部分与整体之间固有的和谐。”（海森堡）。这是科学和艺术共同追求的东西。希尔伯特说：“我们无比热爱的科学把我们团结在一起。它像一座鲜花盛开的花园展现在我们眼前。在这个花园熟悉的小道上，你可以悠闲地观赏，尽情地享受，不需费多大力气，与心领神会的伙伴一起更是如此。但我们更喜欢寻找幽隐的小道，发现许多意想不到的令人愉快的美景；当其中一条小道向我们显示出这一美景时，我们会共同欣赏它，我们的欢乐也达到尽善尽美的境地。”

对美的追求起源于古代。毕达哥拉斯发现，在相同张力作用下的弦，当它们的长度成简单的整数比时，击弦发出的声音听起来是和谐的。正是基于这种认识，毕达哥拉斯学派定出了音律。顺便指出，我国在古代也以同样的方式确定了音律。这是人类第一次确立了可理解的东西与美之间的内在联系，是人类历史上一个真正重大的发现。牛顿的万有引力公式，爱因斯坦的质能转换公式，既是美，又是真。

数学的美表现在什么地方呢？表现在简单、对称、完备、统一和谐和奇异。

为什么我们这样重视美？并把它作为数学发展的动力与价值标准的一个重要因素呢？因为人们常常忽视它。人们只重视实用方面、科学方面，而对于审美情趣、智力挑战、心灵的愉悦诸方面，要么不予承认，即使承认，也认为只不过是次要的因素。但事实上，实用的、科学的、美学的和哲学的因素共同促进了数学的形成。把这些作出贡献、产生影响的因素除去任何一个，或抬高一个而贬低另一个都是违反数学发展史的。

二、数学是什么

　　给数学下定义是一个困难的问题。对任何事物下定义都遇到同样的困难。因为很难在一个定义中把事物的一切重要属性都概括进去。考虑全面性与历史发展，我们给数学下两个定义。
　　数学是数和形的学问。数学是一棵参天大树。它的根深深地扎在我们的现实世界。它有两个主干，一曰形─几何，一曰数─代数。
　　这棵树是如此之古老，它已有上万年的历史；
　　这棵树是如此之长新，它年年都在发新枝；
　　这棵树是如此之繁茂，它已深入到自然科学与社会科学的一切领域；
　　这棵树是如此之奇特，它同根异干，同干异枝，同枝异叶，同叶异花，同花异果。如果我们一辈子只停留在一个枝上，或只见一朵花，我们将永远见不到数学的多采和多姿。见不到数学整体的宏伟和谐调。
　　我们先看数学大树的两大主干：几何与代数。
　　几何：空间形式的科学，视觉思维占主导，培养直觉能力，培养洞察力；
　　代数：数量关系的科学，有序思维占主导，培养逻辑推理能力。
　　记住，认不清几何与代数的基本特征，就是基本上没有学懂它们。特别要注意到，这两者相辅相成。没有直觉就没有发明，没有逻辑就没有证明。借助直觉发明的命题，要借助逻辑加以证明。庞加莱说：“逻辑可以告诉我们走这条路或那条路保证不遇到任何障碍，但是它不能告诉我们哪一条路能引导我们达到目的地。为此必须从远处了望目标，而数学教导我们，了望的本领是直觉。”英国数学家阿蒂亚说：“几何直觉乃是增进数学理解力的很有效的途径，而且它可以使人增加勇气，提高修养。”遗憾的是，在通常的数学教学中只讲逻辑而很少讲直觉。
　　如果只研究数与形，那是静态的，属于常量数学的范围。所以只研究数与形是不够的，必须研究大小与形状是如何改变的。这就产生了微积分。它的延伸是，无穷级数，微分方程，微分几何等。
　　那么，什么是数学呢？19世纪恩格斯给数学下了这样的定义：
　　“数学是关于空间形式和数量关系的科学。”
　　恩格斯关于数学的定义是经典的，概括了当时数学的发展，即使在目前也概括了数学的绝大部分。但是在19世纪末，数理逻辑诞生了。在数理逻辑中既没有数也没有形，很难归入恩格斯的定义。于是人们又考虑数学的新定义
　　数学是关于模式和秩序的科学。我们生活在一个由诸多模式组成的世界中：春有花开，夏有惊雷，秋收冬藏，一年四季往复循环；球形的雨从云中飘落；繁星夜夜周而复始地从天空中划过；世界上没有两片完全相同的雪花，但所有的雪花都是六角形的。人类的心智和文化为模式的识别、分类和利用建立了一套规范化的思想体系，它就是数学。通过数学建立模式可以使知识条理化，并揭示自然界的奥秘。
　　模式和秩序的科学都是数学吗？物理学，力学似乎也符合这个定义，所以需要作出某些界定。
　　物理学的基本元素：基本粒子。
　　生物学的基本元素：细胞。
　　数学呢？数，形，机会，算法与变化。
　　数学的处理对象分成三组：数据，测量，观察资料；推断，演绎，证明：自然现象，人类行为，社会系统的各种模式。
　　数学提供了有特色的思考方式：
　　抽象化：选出为许多不同的现象所共有的性质来进行专门研究：
　　符号化：把自然语言扩充，深化，而变为紧凑，简明的符号语言。这是自然科学公有的思考方式，以数学为最。
　　公理化：从前提，从数据，从图形，从不完全和不一致的原始资料进行推理。归纳与演绎并用。
　　最优化：考察所有的可能性，从中寻求最优解。
　　建立模型：对现实现象进行分析。从中找出数量关系，并化为数学问题。
　　应用这些思考方式的经验构成数学能力。这是当今信息时代越来越重要的一种智力。它使人们能批判地阅读，辨别谬误，摆脱偏见，估计风险。数学能使我们更好地了解我们生活于其中的充满信息的世界。

三、数学的内容

　　大致说来，数学分为初等数学与高等数学两大部分。

　　初等数学中主要包含两部分：几何学与代数学。几何学是研究空间形式的学科，而代数学则是研究数量关系的学科。

　　初等数学基本上是常量的数学。

　　高等数学含有非常丰富的内容，以大学本科所学为限，它主要包含：

　　解析几何：用代数方法研究几何，其中平面解析几何部分内容已放到中学。

　　线性代数：研究如何解线性方法组及有关的问题。

　　高等代数：研究方程式的求根问题。

　　微积分：研究变速运动及曲边形的求积问题。作为微积分的延伸，物理类各系还要讲授常微分方程与偏微分方程。

　　概率论与数理统计：研究随机现象，依据数据进行推理。

　　所有这些学科构成高等数学的基础部分，在此基础上建立了高等数学的宏伟大厦。

　　四、数学的特点

　　数学区分于其它学科的明显特点有三个：第一是它的抽象性，第二是它的精确性，第三是它的应用的极端广泛性。

　　从中学数学的学习过程中读者已经体会到数学的抽象性了。数本身就是一个抽象概念，几何中的直线也是一个抽象概念，全部数学的概念都具有这一特征。整数的概念，几何图形的概念都属于最原始的数学概念。在原始概念的基础上又形成有理数、无理数、复数、函数、微分、积分、维空间以至无穷维空间这样一些抽象程度更高的概念。但是需要指出，所有这些抽象度更高的概念，都有非常现实的背景。不过，抽象不是数学独有的特性，任何一门科学都具有这一特性。因此，单是数学概念的抽象性还不足以说尽数学抽象的特点。数学抽象的特点在于：第一，在数学的抽象中只保留量的关系和空间形式而舍弃了其它一切；第二，数学的抽象是一级一级逐步提高的，它们所达到的抽象程度大大超过了其它学科中的一般抽象；第三，数学本身几乎完全周旋于抽象概念和它们的相互关系的圈子之中。如果自然科学家为了证明自己的论断常常求助于实验，那么数学家证明定理只需用推理和计算。这就是说，不仅数学的概念是抽象的、思辨的，而且数学的方法也是抽象的、思辨的。

　　数学的精确性表现在数学定义的准确性、推理的逻辑严格性和数学结论的确定无疑与无可争辩性。这点读者从中学数学就已很好的懂得了。当然，数学的严格性不是绝对的，一成不变的，而是相对的，发展着的，这正体现了人类认识逐渐深化的过程。

　　数学应用的极其广泛性也是它的特点之一。正像已故著名数学家华罗庚教授曾指出的，宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之变，生物之谜，日用之繁，数学无处不在，凡是出现”量”的地方就少不了用数学，研究量的关系，量的变化，量的变化关系，量的关系的变化等现象都少不了数学。数学之为用贯穿到一切科学部门的深处，而成为它们的得力助手与工具，缺少了它就不能准确地刻画出客观事物的变化，更不能由已知数据推出其它数据，因而就减少了科学预见的可能性，或减弱了科学预见的精确度。

　　五、关于中等教育

　　为了为二十一世纪为我国培养一大批杰出的科学家，中学数学教育起着关键的作用。以下几点应当受到注意：
　　1．将应试教育转为素养教育。要培养学生善于思考，有独创精神，而不只是常于记忆，巧于应考。这对我们民族的长远利益是极关重要的。
　　2．中学数学教育的中心应实现三个转变：从具体数学到概念化数学的转变，发展符号意识；从常量数学到变量数学的转变；从直观描述到严格证明的转变，建立严密的逻辑思维意识。
　　3．向学生提供数学主流的核心部分，为微积分，统计学和计算机作好准备。
　　4．计算机教育应尽早进行。计算机的出现必将改变中等教育的方式与内容。首先，建立在计算机与人脑思维相结合之上的新教学法，将有利于培养学生的洞察力，理解力，以及数学直观。其次，离散数学、图论、进位制系统、算法与函数迭代的部分内容也将进入中学数学。
　　科学和技术已经达到影响人类生活的所有方面的地步，数学也就成为教育议事日程上极其重要的问题。数学是科学和技术的基础。数学在决定国家的各级人才的实力方面起着日益重要的作用。

教师之友网

数学是一种文化     文/葛之     　 来源：易文网

谈到数学，绝大多数人的印象是严格、抽象，或许还有枯燥。但是，笔者好友、《通俗数学名著译丛》的主要策划者、上海教育出版社的叶中豪先生则认为：“数学是一种文化，文化就是要被继承的东西。” 　　仔细地想一想，事实也确实如此：世界上的语言、文字、宗教、党派都有地域之分，但世上只有一种数学，数学定理又能万世流传。按中豪的说法，数学确实是最具有文化特征的了。 　　可惜的是，99％的数学至今仍掌握在远远不到1％的人的头脑中。于是我们不可避免地遇到一个棘手的问题：数学究竟是精英文化还是众文化？ 　　看看伟大的数学家庞加莱是怎么说的，庞加莱说： 　　科学家研究自然并不是因为它有用他研究它是因为他喜爱它，他喜爱它是因为它美。如果它不美，它就不值得被人知道，而如果自然不值得知道，人也就不值得活下去。当然，我这里说的并不是那种激感官的美---那种品质上和外观上的美；并不是我低估那种美，远远不是如此，但那种美跟科学不相干；我说的是各部分之间和谐有序的更深刻的美，是一个纯洁的心灵所能掌握的美。 　　显然，庞加莱指的“科学”主要是理论科学，包括数学。他似乎也支持科学（包括数学）是一种精英文化。 　　这篇章当然不可能解决这个问题，《通俗数学名著译丛》也不是对这一问题的回答。但中豪认为，数学过分地远离公众，并不是件好事；或许学术界允许哈代这样孤独的数学精英存在，但出版界既然承担起传播知识的作用，显然应有别种角度的考虑。事实，中豪和数学界的史树中、李文林等诸位教授的努力，使得《通俗数学名著译丛》出版并在社会上引起很好反响，这确实是为社会奉献了一套“精英的礼物”。     笔者读过这套丛书中的许多本，也和中豪交流过许多次这套丛书可以告诉读者什么呢？ 　　首先要讲的是对读者的引导问题。数学界近年有一个新名词，叫核心数学。也就是说，衡量一个数学家的水平，主要并不是看他解题水平有多高。数学家的主要工作，就是一些必要的前提出发，尽可能多地建立结构或关联，这种结构的选择并不具有任意性，因为数学的结构有重要和不重要分。 　　中豪认为，数学所具有的客观性，是任何智慧生命所不可避免的“命运”。作为一门科学，数学必须强调普遍性；在某种意义上说，只有核心数学（强调重要结构的那部分数学）才是不可避免的。一个数学问题或理论，如果只有一人或少数几个人研究过，无法继承下去，最终只能成为后人从陈年故纸堆中翻出来的思维调料，这样的数学就算不上是好的数学，也就称不上是核心数学。     在一般人心目中，“高级数学”就是哥德巴赫猜想。该丛书中的《数学：新的黄金时代》、《20世纪数学的五大指导理论》、《计算出人意料》，可以告诉读者，在20世纪，什么数学是最重要的。     其次，要把数学看作是一种高级趣味，能够帮助人们提高自身的修养。该丛书中有一本《数论妙趣》，把高斯称为“数学之皇后”的数论描写得生动有趣，读来真是一种享受；《数：科学的语言》是一本名著，对于了解数学文化提供了很好的帮助；《无穷之旅把神秘的“无穷大”描述得淋漓尽致，读了这本书，读者就会明白与现实生活“相去甚远”的无穷大，实际上在文化史上扮演了一个相当重要的角色。即将出版的《稳操胜券》，作者是剑桥大学著名数学家康威等人。作为生命游戏”的创立者、20世纪无可争议的天才，康威采集了几乎有史以来所有的数学游戏，而且这些游戏不是一般的游戏，有很深的数学（比如群论）背景。这样的书极难写，大概只有《GEB──一条永恒的黄金辫带》才能与之媲美；《当代数学──为了人类心智的荣耀》则对现代数学作了相当出色的概括。其作者是世界著名数学家、布尔巴基的笔杆子迪厄多内。这本书书名就取得相当之好，看来迪厄多内与庞加莱的思想有不谋而合处。

教师之友网

有一些人，他的数学成绩很好，工作中也用到了数学，但他们可能仅仅把数学看作一种手段，而不是目的。他们的目的是什么？赚更多的钱，享受更好的物质生活，也就是追求世俗权力。但请大家想一想，如果我们视数学为目的，就像迪厄多内所说的棗为了心智的荣耀，那么，考试还会有作弊吗？论文还会有剽窃吗？换言之，如果我们学习任何一门科，都不是为了名利，而是为了亲身理解科学的实质，那么谁还会采取不正当手段呢？我欣赏“为科学而科学”这种以科学身为目的的说法，希望这套丛书在弘扬这种观点方面能起一定作用。
    最要谈的是，有一个事实很无情地在我们面前，中国古代虽然取得了不少数学成就，出现了一些大数学家，可《通俗数学名著译丛》没有一本涉及到中国古代数学。
    作为一个科技传播工作者，我对此深感痛心。为什么《时间简史》在国际上印了1000万册，在占人口五分之一的中国只印了20万册（而且这还一本炒作出来的书，别的科普佳作的印数还要小得多）？弄懂了这一点，也就能体会出像中豪那样有强烈社会责任心的编辑策划《通俗数学名著译丛》的良苦用心了。

教师之友网

数学是一种文化

来源：网络

- 谈到数学，绝大多数人的印象是严格、抽象，或许还有枯燥。但是，笔者好友、《通俗数学名著译丛》的主要策划者、上海教育出版社的叶中豪先生则认为：“数学是一种文化，而文化就是要被继承的东西。” 　　仔细地想一想，事实也确实如此：世界上的语言、文字、宗教、党派都有地域之分，但世上只有一种数学，数学定理又能万世流传。按中豪的说法，数学确实是最具有文化特征的了。 　　可惜的是，99％的数学至今仍掌握在远远不到1％的人的头脑中。于是我们不可避免地遇到一个棘手的问题：数学究竟是精英文化还是大众文化？ 　　看看伟大的数学家庞加莱是怎么说的，庞加莱说： 　　科学家研究自然并不是因为它有用，他研究它是因为他喜爱它，他喜爱它是因为它美。如果它不美，它就不值得被人知道，而如果自然不值得知道，人也就不值得活下去。当然，我这里说的并不是那种激动感官的美---那种品质上和外观上的美；并不是我低估那种美，远远不是如此，但那种美跟科学不相干；我说的是各部分之间和谐有序的更深刻的美，是一个纯洁的心灵所能掌握的美。 　　显然，庞加莱指的“科学”主要是理论科学，包括数学。他似乎也支持科学（包括数学）是一种精英文化。 　　这篇文章当然不可能解决这个问题，《通俗数学名著译丛》也不是对这一问题的回答。但中豪认为，数学过分地远离公众，并不是一件好事；或许学术界允许哈代这样孤独的数学精英存在，但出版界既然承担起传播知识的作用，显然应有别种角度的考虑。事实上，中豪和数学界的史树中、李文林等诸位教授的努力，使得《通俗数学名著译丛》出版并在社会上引起很好反响，这确实是为社会奉献了一套“精英的礼物”。 　　笔者读过这套丛书中的许多本，也和中豪交流过许多次，这套丛书可以告诉读者什么呢？ 　　首先要讲的是对读者的引导问题。数学界近年有一个新名词，叫核心数学。也就是说，衡量一个数学家的水平，主要并不是看他解题水平有多高。数学家的主要工作，就是从一些必要的前提出发，尽可能多地建立结构或关联，这种结构的选择并不具有任意性，因为数学的结构有重要和不重要之分。 　　中豪认为，数学所具有的客观性，是任何智慧生命所不可避免的“命运”。作为一门科学，数学必须强调普遍性；在某种意义上说，只有核心数学（强调重要结构的那部分数学）才是不可避免的。一个数学问题或理论，如果只有一个人或少数几个人研究过，无法继承下去，最终只能成为后人从陈年故纸堆中翻出来的思维调料，这样的数学就算不上是好的数学，也就称不上是核心数学。 　　在一般人心目中，“高级数学”就是哥德巴赫猜想。该丛书中的《数学：新的黄金时代》、《20世纪数学：五大指导理论》、《计算出人意料》，可以告诉读者，在20世纪，什么数学是最重要的。 　　其次，要把数学看作是一种高级趣味，能够帮助人们提高自身的修养。该丛书中有一本《数论妙趣》，把高斯称为“数学之皇后”的数论描写得生动有趣，读来真是一种享受；《数：科学的语言》是一本名著，对于了解数学文化提供了很好的帮助；《无穷之旅》把神秘的“无穷大”描述得淋漓尽致，读了这本书，读者就会明白与现实生活“相去甚远”的无穷大，实际上在文化史上扮演了一个相当重要的角色。即将出版的《制胜之道》，作者是剑桥大学著名数学家康威等人。作为“生命游戏”的创立者、20世纪无可争议的天才，康威采集了几乎有史以来所有的数学游戏，而且这些游戏不是一般的游戏，有很深的数学（比如群论）背景。这样的书极难写，大概只有《GEB---一条永恒的黄金辫带》才能与之媲美；《当代数学：为了人类心智的荣耀》则对现代数学作了相当出色的概括。其作者是世界著名数学家、布尔巴基的笔杆子迪厄多内。这本书书名就取得相当之好，看来迪厄多内与庞加莱的思想有不谋而合之处。 　　有一些人，他的数学成绩很好，工作中也用到了数学，但他们可能仅仅把数学看作一种手段，而不是目的。他们的目的是什么呢？赚更多的钱，享受更好的物质生活，也就是追求世俗权力。但请大家想一想，如果我们视数学为目的，就像迪厄多内所说的棗为了心智的荣耀，那么，考试还会有作弊吗？论文还会有剽窃吗？换言之，如果我们学习任何一门科学，都不是为了名利，而是为了亲身理解科学的实质，那么谁还会采取不正当手段呢？我欣赏“为科学而科学”这种以科学本身为目的的说法，希望这套丛书在弘扬这种观点方面能起一定作用。 　　最后要谈的是，有一个事实很无情地摆在我们面前，中国古代虽然取得了不少数学成就，出现了一些大数学家，可《通俗数学名著译丛》没有一本涉及到中国古代数学。 　　作为一个科技传播工作者，我对此深感痛心。为什么《时间简史》在国际上印了1000万册，在占人口五分之一的中国只印了20万册（而且这还是一本炒作出来的书，别的科普佳作的印数还要小得多）？弄懂了这一点，也就能体会出像中豪那样有强烈社会责任心的编辑策划《通俗数学名著译丛》的良苦用心了。

教师之友网

http://www.youku.com/playlist_show/id_17101676.html
http://www.youku.com/playlist_show/id_17101676.html