管季超近年研读收存的数学教育典型论文

管季超0712

给学生一双数学的眼睛//转载


　很喜欢张景中院士讲的数学故事：一个少年喂猴子，早上给猴子4个梨子，晚上给猴子3个梨子，猴子发现每天晚上少一个梨子，就很不高兴；于是这个少年又改成早上给猴子3个梨子，晚上4个梨子，猴子每天晚上多吃一个梨子，就高兴了。每每听到这里，孩子们都会哈哈大笑，笑过以后明白：交换加数的位置是不影响结果的，这就是加法的交换律。对于孩子们来说，数学中的性质和概念曾是那么抽象和枯燥，而张院士仅仅用了一个简单的“朝三暮四”的小故事就激起了孩子思维的火花，让孩子们理解了、记住了，甚至想忘都忘不掉了。在笑声中，孩子无论天资如何，都顿觉数学好玩。笑声中的我更清楚，教师对培养孩子们的数学兴趣起到至关重要的作用,身为一名数学教师，如何让我们的孩子面对数学的时候觉得好玩呢？
　　多年的数学教学一直沿袭着这样一个方法：学习一个公式，然后做几十道类似的习题。从小喜欢数学、但最烦重复做题的我当了教师以后，想努力改变这一切，让我的学生能够觉得数学好玩、有趣。于是，我在生活中伸长敏锐的触角，寻找、感悟那些隐藏在身边的习焉不察的、类似于“朝三暮四”的小故事，努力让自己“长”出一双数学的眼睛。

　　记得在我们学校的一次“创新杯课堂教学评比”中，教室后面坐满了听课的评委和老师。眼看上课铃就要响了，我却郑重声明必须先把一张至关重要的证书发下去。知情的学生们七嘴八舌替我着急：“这么多老师来听课，李老师怎么还给我们发证书？”“都怪李天意昨天吹牛说他看过一本最厚的书，引得大家特别不服气，我们才告诉老师都把书带来，一定要跟他比一比！”

　　这时上课铃响了，我说：“昨天，大家不是不服气吗？现在我们就来评一评、比一比，看看谁的书最厚，里边装的知识最多，我们就当着全体同学的面把这张证书颁发给他！”学生们急不可待地搬出从家带来的厚书，寻找着书本最后的页码。

　　“我的页数最多，有998页！”文艺委员率先把自己带来的书的页数报了出来。

　　“998！”我一边认可地点头，一边把数字一板一眼地写到黑板上，然后郑重其事地宣布：“这本书有998页，这个数可真不小哇。看来这个证书得发给她了！”

　　我话音未落，就听见一个同学大声说：“老师，我的页数比她的还多，有1302页呢！”“1302？”我把这个同学报的数字写到998的旁边。“凭什么就说1302页比998页多？”文艺委员从来不肯轻易认输：“你的都是1、2、3，还有个0，我的数都是9和8，怎么不比你的大？”她的质问还真拉来了响应的伙伴，但同时也激起了更多的反对：“998再大也没有到1000，1302可是一千多呢！”“1302是四位数，998是三位数，四位数就比三位数大！”激烈的争论中，同学们时而独立思考，时而互相商量，每个学生的思维都伴着激情自由地飞翔。一次、两次、三次……直到我郑重地宣布第五次，大家才心服口服地让我把证书发给了李天意。

　　听着孩子们的辩论，看着他们神采飞扬的样子，感受着他们构建知识的快乐，我和所有听课的老师都情不自禁地为他们的情绪所感染。我想：数学所给予学生的不仅是逻辑思维和计算能力，还有内容和直觉所带来的发现的冲动和情感的迸发。只有这样，学生成为学习的主体才不是一句空话；只有这样，学生的个性才能在学习活动中尽情地舒展；也只有这样，学生的思维才能在激情的陪伴下自由地飞翔！

　　孩子的激情被激发，任何一个年级的学生都可以独立地去完成适合自己生活的作业，而这些贴近生活、重在实践行动的作业也恰恰能给学生的学习带来无尽的乐趣，孩子们更是表现出空前的学数学、用数学的热情与主动。他们记了大量的数学日记，写出了几百张数学调查信息表，其间还发生过很多有意思的事：



　　我的工资是通过银行发放的，以前每个月的6日左右工资就能提取，而这个月，直到26日工资才到账。不知从什么渠道得到消息的谢小雨也把它当作一条有用的信息：“老师，我想帮你算一算，晚了20天，银行能生多少钱？”我笑了，现在的孩子满眼都是数学信息，需要老师做的就是支持、鼓励、指导，还有关键时候的参与！我说：“要算这个，你必须了解更多的数学知识，如果不怕麻烦，你可以试试看，老师随时帮助你！”谢小雨开心地走了，开始了一个“重要的”研究课题。她在日记里写道：“这件事情很重要，牵扯到李老师能不能按时领到当月的工资！”其实，工资的按时发放与否没什么大不了的，但当学生凭自己的知识和智慧成功地解决了一个问题时，他们喜悦的心情绝对不亚于拿满分、得第一。而我时刻想着的正是让每一个学生“长”出一双数学的眼睛，发现并有兴趣解决生活中无数个数学问题！体验多了，信息丰富了，课堂活跃了，探索有价值了，孩子们的兴趣浓了，数学也就不再枯燥了。

　　在张景中院士的引领下，我将继续与我的教育伙伴们一起努力，满怀激情地投入到数学教育中，让孩子们“长”出一双数学的眼睛，引导学生形成良好的数学意识。（作者系青岛市实验小学教师　李玲）

管季超0712

数学大事年表

约公元前3000年 埃及象形数字
公元前2400～前1600年 早期巴比伦泥版楔形文字，采用60进位值制记数法。已知勾股定理
公元前1850～前1650年　 埃及纸草书（莫斯科纸草书与莱茵德纸草书），使用10进非位值制记数法
公元前1400～前1100年 中国殷墟甲骨文，已有10进制记数法
周公(公元前11世纪)、商高时代已知勾三、股四、弦五
约公元前600年　 希腊泰勒斯开始了命题的证明
约公元前540年 希腊毕达哥拉斯学派，发现勾股定理，并导致不可通约量的发现
约公元前500年 　 印度《绳法经》中给出√2相当精确的值，并知勾股定理
约公元前460年 希腊智人学派提出几何作图三大问题：化圆为方、三等分角和二倍立方
约公元前450年 希腊埃利亚学派的芝诺提出悖论
公元前430年 希腊安提丰提出穷竭法
约公元前380年 希腊柏拉图在雅典创办“学园”，主张通过几何的学习培养逻辑思维能力
公元前370年 希腊欧多克索斯创立比例论
约公元前335年 欧多莫斯著《几何学史》
中国筹算记数，采用十进位值制
约公元前300年 希腊欧几里得著《几何原本》，是用公理法建立演绎数学体系的最早典范
公元前287～前212年希腊阿基米德，确定了大量复杂几何图形的面积与体积；给出圆周率的上下界；提出用力学方法推测问题答案，隐含近代积分论思想
公元前230年 希腊埃拉托塞尼发明“筛法”
公元前225年 希腊阿波罗尼奥斯著《圆锥曲线论》
约公元前150年 中国现存最早的数学书《算数书》成书（1983～1984年间在湖北江陵出土）
约公元前100年 中国《周髀算经》成书，记述了勾股定理
中国古代最重要的数学著作《九章算术》经历代增补修订基本定形（一说成书年代为公元 50～100年间），其中正负数运算法则、分数四则运算、线性方程组解法、比例计算与线性插值法盈不足术等都是世界数学史上的重要贡献
约公元62年 希腊海伦给出用三角形三边长表示面积的公式（海伦公式）
约公元150年 希腊托勒密著《天文学》，发展了三角学
约公元250年 希腊丢番图著《算术》，处理了大量不定方程问题，并引入一系列缩写符号，是古希腊代数的代表作
约公元263年 中国刘徽注解《九章算术》，创割圆术，计算圆周率,证明圆面积公式,推导四面体及四棱锥体积等，包含有极限思想
约公元300年 中国《孙子算经》成书，系统记述了筹算记数制，卷下“物不知数”题是孙子剩余定理的起源
公元320年 希腊帕普斯著《数学汇编》，总结古希腊各家的研究成果,并记述了“帕普斯定理”和旋转体体积计算法
公元410年 希腊许帕提娅，历史上第一位女数学家，曾注释欧几里得、丢番图等人的著作
公元462年 中国祖冲之算出圆周率在 3.1415926与3.1415927之间,并以22/7为约率，355/113为密率（现称祖率）
中国祖冲之和他的儿子祖暅提出“幂势既同则积不容异”的原理，现称祖暅原理，相当于西方的卡瓦列里原理(1635)
公元499年印度阿耶波多著《阿耶波多文集》，总结了当时印度的天文、算术、代数与三角学知识。已知π=3.1416，尝试以连分数解不定方程
公元600年 中国刘焯首创等间距二次内插公式，后发展出不等间距二次内插法（僧一行，724）和三次内插法(郭守敬，1280)
约公元625年 中国王孝通著《缉古算经》，是最早提出数字三次方程数值解法的著作
公元628年 印度婆罗摩笈多著《婆罗摩历算书》，已知圆内接四边形面积计算法，推进了一、二次不定方程的研究
公元656年 中国李淳风等注释十部算经，后通称《算经十书》
公元820年 阿拉伯花拉子米著《代数学》，以二次方程求解为主要内容，12世纪该书被译成拉丁文传入欧洲
约公元870年 印度出现包括零的十进制数码，后传入阿拉伯演变为现今的印度－阿拉伯数码
约公元1050年 中国贾宪提出二项式系数表（现称贾宪三角和增乘开方法）
公元1100年 阿拉伯奥马·海亚姆首创用两条圆锥曲线的交点来表示三次方程的根
公元1150年印度婆什迦罗第二著《婆什迦罗文集》为中世纪印度数学的代表作，其中给出二元不定方程x⒉=1+py⒉若干特解，对负数有所认识，并使用了无理数
公元1202年 意大利L.斐波那契著《算盘书》，向欧洲人系统地介绍了印度－阿拉伯数码及整数、分数的各种算法
公元1247年中国秦九韶著《数书九章》，创立解一次同余式的大衍求一术和求高次方程数值解的正负开方术，相当于西方的霍纳法(1819)
公元1248年 中国李冶著《测圆海镜》，是中国现存第一本系统论述天元术的著作
约公元1250年 　 阿拉伯纳西尔丁·图西开始使三角学脱离天文学而独立,将欧几里得《几何原本》译为阿拉伯文
公元1303年 中国朱世杰著《四元玉鉴》，将天元术推广为四元术，研究高阶等差数列求和问题
公元1325年 英国T.布雷德沃丁将正切、余切引入三角计算
公元14世纪 珠算在中国普及
约公元1360年法国N.奥尔斯姆撰《比例算法》，引入分指数概念，又在《论图线》等著作中研究变化与变化率，创图线原理，即用经、纬度（相当于横、纵坐标）表示点的位置并进而讨论函数图像
公元1427年 阿拉伯卡西著《算术之钥》，系统论述算术、代数的原理、方法，并在《圆周论》中求出圆周率17位准确数字
公元1464年 德国J.雷格蒙塔努斯著《论一般三角形》，为欧洲第一本系统的三角学著作，其中出现正弦定律
公元1482年 欧几里得《几何原本》(拉丁文译本)首次印刷出版
公元1489年 捷克韦德曼最早使用符号＋、－表示加、减运算
公元1545年意大利G.卡尔达诺的《大术》出版，载述了S·费罗(1515)、N.塔尔塔利亚(1535)的三次方程解法和L.费拉里(1544)的四次方程解法
公元1572年　　意大利R.邦贝利的《代数学》出版，指出对于三次方程的不可约情形，通过虚数运算必可得三个实根，给出初步的虚数理论
公元1585年　　 荷兰S.斯蒂文创设十进分数(小数)的记法
公元1591年法国F.韦达著《分析方法入门》，引入大量代数符号，改良三、四次方程解法，指出根与系数的关系，为符号代数学的奠基者
公元1592年 中国程大位写成《直指算法统宗》，详述算盘的用法，载有大量运算口诀，该书明末传入日本、朝鲜
公元1606年 中国徐光启和利玛窦合作将欧几里得《几何原本》前六卷译为中文
公元1614年 英国J.纳皮尔创立对数理论
公元1615年 德国开普勒著《酒桶新立体几何》，有求酒桶体积的方法，是阿基米德求积方法向近代积分法的过渡
公元1629年 荷兰吉拉尔最早提出代数基本定理法国P.de费马已得解析几何学要旨，并掌握求极大极小值方法
公元1635年 意大利（F.）B.卡瓦列里建立“不可分量原理”
公元1637年 法国R.笛卡儿的《几何学》出版，创立解析几何学法国P.de费马提出“费马大定理”
公元1639年 法国G.德扎格著《试论处理圆锥与平面相交情况初稿》，为射影几何先驱
公元1640年 法国B.帕斯卡发表《圆锥曲线论》
公元1642年 法国B.帕斯卡发明加减法机械计算机
公元1655年 英国J.沃利斯著《无穷算术》，导入无穷级数与无穷乘积，首创无穷大符号∞
公元1657年荷兰C.惠更斯著《论骰子游戏的推理》，引入数学期望概念，是概率论的早期著作。在此以前B.帕斯卡、P.de费马等已由处理赌博问题而开始考虑概率理论
公元1665年英国I.牛顿一份手稿中已有流数术的记载，这是最早的微积分学文献，其后他在《无穷多项方程的分析》（1669年撰，1711年发表）、《流数术方法与无穷级数》（1671年撰, 1736年发表）等著作中进一步发展流数术并建立微积分基本定理
公元1666年　　 德国G.W.莱布尼茨写成《论组合的技术》，孕育了数理逻辑思想
公元1670年　　 英国I.巴罗著《几何学讲义》，引进“微分三角形”概念
约公元1680年 日本关孝和始创和算，引入行列式概念，开创“圆理”研究
公元1684年德国G.W.莱布尼茨在《学艺》上发表第一篇微分学论文《一种求极大极小与切线的新方法》，两年后又发表第一篇积分学论文，创用积分符号
公元1687年 英国I. 牛顿的 《自然哲学的数学原理》出版，首次以几何形式发表其流数术
公元1689年　　 瑞士约翰第一·伯努利提出“最速降曲线”问题，后导致变分法的产生法国 G.-F.-A.de 洛必达出版《无穷小分析》，其中载有求极限的洛必达法则
公元1707年 英国I.牛顿出版《广义算术》，阐述了代数方程理论
公元1713年 瑞士雅各布第一·伯努利的《猜度术》出版，载有伯努利大数律
公元1715年 英国B.泰勒出版《正的和反的增量方法》，内有他1712年发现的把函数展开成级数的泰勒公式
公元1722年　　 法国A.棣莫弗给出公式（cos φ＋i sin φ）n =cos nφ+ i sin nφ
公元1730年　　 苏格兰J.斯特林发表《微分法，或关于无穷级数的简述》，其中给出了Ν!的斯特林公式
公元1731年　　 法国A.－C.克莱罗著《关于双重曲率曲线的研究》，开创了空间曲线的理论
公元1736年　　 瑞士L.欧拉解决了柯尼斯堡七桥问题
公元1742年　　 英国C.马克劳林出版《流数通论》，试图用严谨的方法来建立流数学说，其中给出了马克劳林展开
公元1744年　　 瑞士L.欧拉著《寻求具有某种极大或极小性质的曲线的技巧》，标志着变分法作为一个新的数学分支的诞生
公元1747年　　 法国J.le R. 达朗贝尔发表《弦振动研究》,导出了弦振动方程,是偏微分方程研究的开端
公元1748年　　瑞士L.欧拉出版《无穷小分析引论》，与后来发表的《微分学》(1755)和《积分学》(1770)一起，以函数概念为基础综合处理微积分理论，给出了大量重要的结果，标志着微积分发展的新阶段
公元1750年　　 瑞士G.克莱姆给出解线性方程组的克莱姆法则,瑞士L.欧拉发表多面体公式:V-E+F =2
公元1770年　　法国J.－L.拉格朗日深入探讨代数方程根式求解问题，考虑有理函数当变量发生置换时所取值的个数，成为置换群论的先导,德国J.H.朗伯开创双曲函数的全面研究
公元1777年　　 法国G.-L.L.de布丰提出投针问题,是几何概率理论的早期研究
公元1779年　　 法国□.贝祖著《代数方程的一般理论》，系统论述消元法理论
公元1788年　　 法国J.－L.拉格朗日的《分析力学》出版，使力学分析化，并总结了变分法的成果
公元1794年　　法国A.－M.勒让德的《几何学基础》出版，是当时标准的几何教科书,法国建立巴黎综合工科学校和巴黎高等师范学校
公元1795年　　 法国G.蒙日发表《关于把分析应用于几何的活页论文》，成为微分几何学先驱
公元1797年　　法国J.-L.拉格朗日著《解析函数论》，主张以函数的幂级数展开为基础建立微积分理论,挪威C.韦塞尔最早给出复数的几何表示
公元1799年法国G.蒙日出版《画法几何学》，使画法几何成为几何学的一个专门分支,德国C.F.高斯给出代数基本定理的第一个证明
公元1799～1825年　　法国P.-S.拉普拉斯的5卷巨著《天体力学》出版，其中包含了许多重要的数学贡献，如拉普拉斯方程、位势函数等
公元1801年　　 德国C.F.高斯的《算术研究》出版，标志着近代数论的起点
公元1802年　　 法国J.E.蒙蒂克拉与J.de拉朗德合撰的《数学史》共4卷全部出版,成为最早的较系统的数学史著作
公元1807年　　法国J.－B.－J.傅里叶在热传导研究中提出任意函数的三角级数表示法（傅里叶级数），他的思想总结在1822年发表的《热的解析理论》中
公元1810年　　 法国J.－D.热尔岗创办《纯粹与应用数学年刊》，这是最早的专门数学期刊
公元1812年　　 英国剑桥分析学会成立,法国 P.-S.拉普拉斯著《概率的解析理论》,提出概率的古典定义,将分析工具引入概率论
公元1814年　　 法国 A.-L.柯西宣读复变函数论第一篇重要论文《关于定积分理论的报告》（1827年正式发表），开创了复变函数论的研究
公元1817年　　 捷克B.波尔查诺著《纯粹分析的证明》，首次给出连续性、导数的恰当定义，提出一般级数收敛性的判别准则
公元1818年　　 法国S.-D.泊松导出波动方程解的“泊松公式”
公元1821年　　法国A.-L.柯西出版《代数分析教程》，引进不一定具有解析表达式的函数概念；独立于B.波尔查诺提出极限、连续、导数等定义和级数收敛判别准则，是分析严密化运动中第一部影响深远的著作
公元1822年　　 法国J.－V.彭赛列著《论图形的射影性质》，奠定了射影几何学基础
公元1826年　　挪威N.H.阿贝尔著《关于很广一类超越函数的一个一般性质》，开创了椭圆函数论研究德国A.L.克雷尔创办《纯粹与应用数学杂志》
法国J.-D.热尔岗与J.-V.彭赛列各自建立对偶原理
公元1827年　　德国C.F.高斯著《关于曲面的一般研究》，开创曲面内蕴几何学德国A.F.麦比乌斯著《重心演算》，引进齐次坐标，与J.普吕克等开辟了射影几何的代数方向
公元1828年　　 英国G.格林著《数学分析在电磁理论中的应用》，发展位势理论
公元1829年德国C.G.J.雅可比著《椭圆函数论新基础》，是椭圆函数理论的奠基性著作,俄国Н.И.罗巴切夫斯基发表最早的非欧几何论著《论几何基础》
公元1829～1832年　　 法国E.伽罗瓦彻底解决代数方程根式可解性问题，确立了群论的基本概念
公元1830年 英国G.皮科克著《代数通论》，首创以演绎方式建立代数学，为代数中更抽象的思想铺平了道路
公元1832年　　匈牙利J.波尔约发表《绝对空间的科学》，独立于Н.И.罗巴切夫斯基提出了非欧几何思想,瑞士J.施泰纳著《几何形的相互依赖性的系统发展》，利用射影概念从简单结构构造复杂结构，发展了射影几何
公元1836年　　 法国J.刘维尔创办法文的《纯粹与应用数学杂志》
公元1837年　　 德国P.G.L.狄利克雷提出现今通用的函数定义(变量之间的对应关系)
公元1840年　　 法国 A.-L.柯西证明了微分方程初值问题解的存在性
公元1841～1856年　　德国K.（T.W.）外尔斯特拉斯关于分析严密化的工作，主张将分析建立在算术概念的基础之上，给出极限的ε－δ说法和级数一致收敛性概念；同时在幂级数基础上建立复变函数论
公元1843年　　 英国W.R.哈密顿发现四元数
公元1844年　　德国E.E.库默尔创立理想数的概念,德国H.G.格拉斯曼出版《线性扩张论》。建立Ν个分量的超复数系,提出了一般的Ν维几何的概念
公元1847年　　 德国K.G.C.von 施陶特著《位置的几何学》，不依赖度量概念建立射影几何体系
公元1849～1854年　　 英国的A.凯莱提出抽象群概念　
公元1851年德国（G.F.）B.黎曼著《单复变函数的一般理论基础》，给出单值解析函数的黎曼定义，创立黎曼面的概念，是复变函数论的一篇经典性论文
公元1854年　　德国（G.F.）B.黎曼著《关于几何基础的假设》,创立Ν维流形的黎曼几何学,英国G.布尔出版《思维规律的研究》，建立逻辑代数（即布尔代数）
公元1855年　　 英国A.凯莱引进矩阵的基本概念与运算
公元1858年　　 德国（G.F.）B.黎曼给出ζ函数的积分表示与它满足的函数方程，提出黎曼猜想德国A. F. 麦比乌斯发现单侧曲面（麦比乌斯带）
公元1859年　　中国李善兰与英国的伟烈亚力合译的《代数学》、《代微积拾级》以及《几何原本》后9卷中文本出版,这是翻译西方近代数学著作的开始,中国李善兰建立了著名的组合恒等式（李善兰恒等式）
公元1861年 德国K.（T.W.）外尔斯特拉斯在柏林讲演中给出连续但处处不可微函数的例子
公元1863年　　 德国P.G.L.狄利克雷出版《数论讲义》，是解析数论的经典文献
公元1865年　　 伦敦数学会成立，是历史上第一个成立的数学会
公元1866年　　 俄国П.Л.切比雪夫利用切比雪夫不等式建立关于独立随机变量序列的大数律，成为概率论研究的中心课题
公元1868年　　 意大利E.贝尔特拉米著《论非欧几何学的解释》，在伪球面上实现罗巴切夫斯基几何，这是第一个非欧几何模型
德国（G.F.）B.黎曼的《用三角级数表示函数的可表示性》正式发表，建立了黎曼积分理论
公元1871年　　德国（C.）F.克莱因在射影空间中适当引进度量而得到双曲几何与椭圆几何，这是不用曲面而获得的非欧几何模型
德国G.（F.P.）康托尔在三角级数表示的惟一性研究中首次引进了无穷集合的概念，并在以后的一系列论文中奠定了集合论的基础
公元1872年　　德国（C.）F.克莱因发表《埃尔朗根纲领》，建立了把各种几何学看作为某种变换群的不变量理论的观点，以群论为基础统一几何学
实数理论的确立：G.（F.P.）康托尔的基本序列论；J.W.R.戴德金的分割论；K.(T.W.)外尔斯特拉斯的单调序列论
公元1873年　　 法国C.埃尔米特证明e的超越性
公元1874年　　 挪威M.S.李开创连续变换群的研究，现称李群理论
公元1879年　　德国（F.L.）G.弗雷格出版《概念语言》,建立量词理论,给出第一个严密的逻辑公理体系，后又出版《算术基础》(1884)等著作，试图把数学建立在逻辑的基础上
公元1881～1884年　　 德国(C.)F.克莱因与法国（J.－）H.庞加莱创立自守函数论
公元1881～1886年　　 法国（J.－）H.庞加莱关于微分方程确定的曲线的论文，创立微分方程定性理论
公元1882年 德国M.帕施给出第一个射影几何公理系统,德国F.von林德曼证明π的超越性
公元1887年　　 法国（J.－）G.达布著《曲面的一般理论》，发展了活动标架法
公元1889年　　 意大利G.皮亚诺著《算术原理新方法》，给出自然数公理体系
公元1894年　　 荷兰T.（J.）斯蒂尔杰斯发表《连分数的研究》，引进新的积分（斯蒂尔杰斯积分）
公元1895年　　法国（J.－）H.庞加莱著《位置几何学》，创立用剖分研究流形的方法，为组合拓扑学奠定基础,德国F.G.弗罗贝尼乌斯开始群的表示理论的系统研究
公元1896年　　德国H.闵科夫斯基著《数的几何》，创立系统的数的几何理论,法国J.（-S.）阿达马与瓦里-布桑证明素数定理
公元1897年　　 第一届国际数学家大会在瑞士苏黎世举行
公元1898年　　 英国K.皮尔逊创立描述统计学
公元1899年　　德国D.希尔伯特出版《几何基础》，给出历史上第一个完备的欧几里得几何公理系统,开创了公理化方法,并预示了数学基础的形式主义观点
公元1900年　　 德国D.希尔伯特在巴黎第二届国际数学家大会上作题为《数学问题》的报告。提出了23个著名的数学问题

管季超0712

原文地址：数学文化综述作者：史十数学

    数学作为一种文化现象，早已是人们的常识。历史地看，古希腊和文艺复兴时期的文化名人，往往本身就是数学家。最著名的如柏拉图和达·芬奇。晚近以来，爱因斯坦、希尔伯特、罗素、冯·诺依曼等文化名人也都是20世纪数学文明的缔造者。
1、数学文化的存在价值
    在即将公布的高中数学课程标准中，数学文化是一个单独的板块，给予了特别的重视。许多老师会问为什么要这样做？一个重要的原因是，20世纪初年的数学曾经存在着脱离社会文化的孤立主义倾向，并一直影响到今天的中国。数学的过度形式化，使人错误地感到数学只是少数天才脑子里想象出来的“自由创造物”，数学的发展无须社会的推动，其真理性无须实践的检验，当然，数学的进步也无须人类文化的哺育。于是，西方的数学界有“经验主义的复兴”。怀特（L.A.White）的数学文化论力图把数学回归到文化层面。克莱因（M.Kline）的《古今数学思想》、《西方文化中的数学》、《数学：确定性的丧失》相继问世，力图营造数学文化的人文色彩。
    国内最早注意数学文化的学者是北京大学的教授孙小礼，她和邓东皋等合编的《数学与文化》，汇集了一些数学名家的有关论述，也记录了从自然辩证法研究的角度对数学文化的思考。稍后出版的有齐民友的《数学与文化》，主要从非欧几何产生的历史阐述数学的文化价值，特别指出了数学思维的文化意义。郑毓信等出版的专著《数学文化学》，特点是用社会建构主义的哲学观，强调“数学共同体”产生的文化效应。
    以上的著作以及许多的论文，都力图把数学从单纯的逻辑演绎推理的圈子中解放出来，重点是分析数学文明史，充分揭示数学的文化内涵，肯定数学作为文化存在的价值。
2、认识和实施数学文化教育
    进入21世纪之后，数学文化的研究更加深入。一个重要的标志是数学文化走进中小学课堂，渗入实际数学教学，努力使学生在学习数学过程中真正受到文化感染，产生文化共鸣，体会数学的文化品位，体察社会文化和数学文化之间的互动。
    那么，如何在中小学数学教学中进行数学文化教育呢？笔者认为应该从以下几个方面加以认识和实施。
（1）、认识数学文化的民族性和世界性
    每个民族都有自己的文化，也就一定有属于这个文化的数学。古希腊的数学和中国传统数学都有辉煌的成就、优秀的传统。但是，它们之间有着明显的差异。古希腊和古代中国的不同政治文明孕育了不同的数学。
    古希腊是奴隶制国家。当时希腊的雅典城邦实行奴隶主的民主政治（广大奴隶不能享受这种民主）。男性奴隶主的全体大会选举执政官，对一些战争、财政大事实行民主表决。这种政治文明包含着某些合理的因素。奴隶主之间讲民主，往往需要用理由说服对方，使学术上的辩论风气浓厚。为了证明自己坚持的是真理，也就需要证明。先设一些人人皆同意的“公理”，规定一些名词的意义，然后把要陈述的命题，称为公理的逻辑推论。欧氏的《几何原本》正是在这样的背景下产生的。
    中国在春秋战国时期也有百家争鸣的学术风气，但是没有实行古希腊统治者之间的民主政治，而是实行君王统治制度。春秋战国时期，也是知识分子自由表达见解的黄金年代。当时的思想家和数学家，主要目标是帮助君王统治臣民、管理国家。因此，中国的古代数学，多半以“管理数学”的形式出现，目的是为了丈量田亩、兴修水利、分配劳力、计算税收、运输粮食等国家管理的实用目标。理性探讨在这里退居其次。因此，从文化意义上看，中国数学可以说是“管理数学”和“木匠数学”，存在的形式则是官方的文书。
    古希腊的文化时尚，是追求精神上享受，以获得对大自然的理解为最高目标。因此，“对顶角相等”这样的命题，在《几何原本》里列入命题15，借助公理3（等量减等量，其差相等）给予证明。在中国的数学文化里，不可能给这样的直观命题留下位置。
    同样，中国数学强调实用的管理数学，却在算法上得到了长足的发展。负数的运用、解方程的开根法，以及杨辉（贾宪）三角、祖冲之的圆周率计算、天元术那样的精致计算课题，也只能在中国诞生，而为古希腊文明所轻视。
    我们应当充分重视中国传统数学中的实用与算法的传统，同时又必须吸收人类一切有益的数学文化创造，包括古希腊的文化传统。当进入21世纪的时候，我们作为地球村的村民，一定要溶入世界数学文化，将民族性和世界性有机地结合起来。
（2）、揭示数学文化内涵，走出数学孤立主义的阴影
    数学的内涵十分丰富。但在中国数学教育界，常常有“数学=逻辑”的观念。据调查，学生们把数学看作“一堆绝对真理的总集”，或者是“一种符号的游戏”。“数学遵循记忆事实-运用算法-执行记忆得来的公式-算出答案”的模式[1]，“数学=逻辑”的公式带来了许多负面影响。正如一位智者所说，一个充满活力的数学美女，只剩下一副X光照片上的骨架了！
    数学的内涵，包括用数学的观点观察现实，构造数学模型，学习数学的语言、图表、符号表示，进行数学交流。通过理性思维，培养严谨素质，追求创新精神，欣赏数学之美。
    半个多世纪以前，著名数学家柯朗（R.Courant）在名著《数学是什么》的序言中这样写道：“今天，数学教育的传统地位陷入严重的危机。数学教学有时竟变成一种空洞的解题训练。数学研究已出现一种过分专门化和过于强调抽象的趋势，而忽视了数学的应用以及与其他领域的联系。教师学生和一般受过教育的人都要求有一个建设性的改造，其目的是要真正理解数学是一个有机整体，是科学思考与行动的基础。”
    2002年8月20日，丘成桐接受《东方时空》的采访时说：“我把《史记》当作歌剧来欣赏”，“由于我重视历史，而历史是宏观的，所以我在看数学问题时常常采取宏观的观点，和别人的看法不一样。” 这是一位数学大家的数学文化阐述。
   《文汇报》2002年8月21日摘要刊出钱伟长的文章《哥丁根学派的追求》，其中提到：“这使我明白了：数学本身很美，然而不要被它迷了路。应用数学的任务是解决实际问题，不是去完善许多数学方法，我们是以解决实际问题为己任的。从这一观点上讲，我们应该是解决实际问题的优秀‘屠夫’，而不是制刀的‘刀匠’，更不是那种一辈子欣赏自己的刀多么锋利而不去解决实际问题的刀匠。”这是一个力学家的数学文化观。
    和所有文化现象一样，数学文化直接支配着人们的行动。孤立主义的数学文化，一方面拒人于千里之外，使人望数学而生畏；另一方面，又孤芳自赏，自言自语，令人把数学家当成“怪人”。学校里的数学，原本是青少年喜爱的学科，却成为过滤的“筛子”、打人的“棒子”。优秀的数学文化，会是美丽动人的数学王后、得心应手的仆人、聪明伶俐的宠物。伴随着先进的数学文化，数学教学会变得生气勃勃、有血有肉、光彩照人。
（3）、多侧面地开展数学文化研究
    谈到数学文化，往往会联想到数学史。确实，宏观地观察数学，从历史上考察数学的进步，确实是揭示数学文化层面的重要途径。但是，除了这种宏观的历史考察之外，还应该有微观的一面，即从具体的数学概念、数学方法、数学思想中揭示数学的文化底蕴。以下将阐述一些新视角，力求多侧面地展现数学文化。
1） 数学和文学。

    数学和文学的思考方法往往是相通的。举例来说，中学课程里有“对称”，文学中则有“对仗”。对称是一种变换，变过去了却有些性质保持不变。轴对称，即是依对称轴对折，图形的形状和大小都保持不变。那么对仗是什么？无非是上联变成下联，但是字词句的某些特性不变。王维诗云：“明月松间照，清泉石上流”。这里，明月对清泉，都是自然景物，没有变。形容词“明”对“清”，名词“月”对“泉”，词性不变。其余各词均如此。变化中的不变性质，在文化中、文学中、数学中，都广泛存在着。数学中的“对偶理论”，拓扑学的变与不变，都是这种思想的体现。文学意境也有和数学观念相通的地方。徐利治先生早就指出：“孤帆远影碧空尽”，正是极限概念的意境。欧氏几何和中国古代的时空观。初唐诗人陈子昂有句云：“前不见古人，后不见来者，念天地之悠悠，独怆然而涕下。”这是时间和三维欧几里得空间的文学描述。在陈子昂看来，时间是两头无限的，以他自己为原点，恰可比喻为一条直线。天是平面，地是平面，人类生活在这悠远而空旷的时空里，不禁感慨万千。数学正是把这种人生感受精确化、形式化。诗人的想象可以补充我们的数学理解。
2） 数学与语言。

    语言是文化的载体和外壳。数学的一种文化表现形式，就是把数学溶入语言之中。“不管三七二十一”涉及乘法口诀，“三下二除五就把它解决了”则是算盘口诀。再如“万无一失”，在中国语言里比喻“有绝对把握”，但是，这句成语可以联系“小概率事件”进行思考。“十万有一失”在航天器的零件中也是不允许的。此外，“指数爆炸”“直线上升”等等已经进入日常语言。它们的含义可与事物的复杂性相联系（计算复杂性问题），正是所需要研究的。“事业坐标”“人生轨迹”也已经是人们耳熟能详的词语。
3） 数学的宏观和微观认识。

    宏观和微观是从物理学借用过来的，后来变成一种常识性的名词。以函数为例，初中和高中的函数概念有变量说和对应说之分，其实是宏观描述和微观刻画的区别。初中的变量说，实际上是宏观观察，主要考察它的变化趋势和性态。高中的对应则是微观的分析。在分段函数的端点处，函数值在这一段，还是下一段，差一点都不行。政治上有全局和局部，物理上有牛顿力学与量子力学，电影中有全景和细部，国画中有泼墨山水画和工笔花鸟画，其道理都是一样的。是否要从这样的观点考察函数呢？
4）数学和美学。

    “1/2+1/3=2/5 ？”是不是和谐美？二次方程的求根公式美不美？这涉及到美学观。三角函数课堂上应该提到音乐，立体几何课总得说说绘画，如何把立体的图形画在平面上。欣赏艾舍尔（M.C.Escher）的画、计算机画出的分形图，也是数学美的表现。
    总之，数学文化离不开数学史，但是不能仅限于数学史。当数学文化的魅力真正渗入教材、到达课堂、溶入教学时，数学就会更加平易近人，数学教学就会通过文化层面让学生进一步理解数学、喜欢数学、热爱数学。

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原文地址：数学教学网站作者：方亚斌工作室

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