新一代小学数学教师的成长

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《小学数学教师》2012年第7、8合刊目录 辩课进校园
教学，贴着更多学生的思维    ——“三角形的面积”教学思考与实践	何月丰
从“教学，关注学生的思维”辩起    ——以“三角形的面积”教学为例
三角形面积计算公式推导有没有基本方法？	费岭峰
用数学的视角来研读学生     ——“三角形面积公式”的解读及联想	邱月亮
理论研讨
对“几何直观”概念的几点辨析	顾志能
前沿研究
“认识菱形”的教学尝试与思考	唐彩斌等
精品课堂
数学乐园走一走     ——“10以内加减法”整理复习教学设计	常冰冰
在复习课中帮助学生建构知识结构 ——“表内乘除法总复习”教学实践及思考	虞凌洁
教学探讨
小学数学中的“发生性学习”与“结论性学习”	俞正强
让学生在有“备”中走进课堂	严育洪
数学课堂师生对话中存在的问题与对策	刘兰英
案例与反思
在规律探究中提升育人价值     ——“2、5和3的倍数特征”教学整体设计的思考与实践	蒋玉琴
数学理解要实现对本源的回归 ——“3的倍数的特征”教学思考与实践	包静娟等
教学需要深入浅出 ——对“认识平行线”教学片断的思考	刘秀凤
由平行线的另类画法说起	纪正兵
掌握笔算从创作竖式开始 ——两位数乘两位数的笔算教学片断与思考	王霞芸
“新思维小学数学”介绍
计算教学中的创新思维培养（十）     ——对整数四则混合运算教学的思考	张天孝等
习题教学与研究
对比 沟通孕伏     ——打造精品练习课例谈	朱震绯
“圆柱和圆锥”练习设计	蒋明玉
“小数点向左移动引起小数变化的规律”练习设计	施丹瑾
教学一得
数形结合，理解小数近似数的精确程度	朱春荣
由繁入简  深入浅出     ——“倍的认识”教学一得	周丽娇
妙用教具提高效率	肖成显
教师论坛
由一道小数习题引发的思考	宋永福
“孩子，我在这里！”	周卫东
读懂学生订正时的“抄袭”	王逸卿
数学奏鸣曲
此岸与彼岸，平方数的化身	谈祥柏

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如何实现“少教多学，以学定教”？

——从“平行与相交”的两堂课辩起

主持人：陈洪杰
辩  课：庄  敏   汪培新   夏爱玉   华  琴    孙  谦
鲁宗瑞   吴  卓   纪正兵   许红梅   戴守楠
张桂琴   陈  春   金春平   张美芳   刘娟娟
整  理：郁玉婵   黄  强   张美芳

一、上课教师说课

庄敏（南京市石鼓路小学）：在上课之前，我的内心是非常忐忑和不安的。因为这节课的预设非常少，主要就两个环节：一是认识平行，二是画平行线。在课堂上会出现什么情况，学生又会出现哪些问题，我心里是一点底都没有的。但这课堂的魅力也正是在这儿，就是因为最大程度地放开了，学生才能把他心中的问题、心中的质疑充分地展现出来。
比如，我没有想到孩子们会在“相交”这个问题上一直“纠缠”着，一直在讨论。今天有孩子上来说两条直线平行的话，一定是得这两条线长度一样，其实孩子提到的长度指的却是两条直线间的距离，这也是我没有预设到的。其实有很多内容都已经牵涉下一节“垂直”的问题了。不过，我觉得他们讨论得也非常好，讨论得很到位。包括我前面几次试教，孩子们出现的问题和今天的情况都是不一样的。所以我认为，这种课堂的魅力也恰恰是在这儿。
我们一直在说学生是学习的主人，但是说句实话，我们一直掌握着课堂上的主动权。而今天真正能把话语权交给孩子，确实是一个很大的突破，也是一次很新的尝试。今天好几次孩子们在讨论的时候，我觉得时间不够了，想把话筒拿回来，都拿不回来。我觉得孩子在这样的课堂里，是真正地开动了脑筋的，不但要有自己的想法，还要考虑到别人说的，然后提出自己的质疑。“把话语权交给孩子”，这样的理念是仲广群老师在一年前带入石鼓路的。就我个人而言，也是在一年里慢慢地接受，在质疑、犹豫和不安中走过来的，最后真正打动我的是几次平常的试教中孩子们在课堂里迸发出来的令人激动不已的东西。
今天用这样的方式执教是一次新的尝试，所以还有很多不成熟的地方。比如说今天的时间掌控的不够好，画平行线的问题就没有解决。这些细节上还有一些其他问题，我会在今后的教学实践中进一步地思考、打磨让我们在这条路上走的更远，走得更好。
汪培新（浙江省杭州市学军小学）：我的这节课，总体原则是要突出孩子的主体地位，要让孩子在自主探究中学习。现在课堂的结构在不断地在发生改变，我近阶段一直在思考的一个问题是：从教师的操作来讲，我们的课堂环节要简化，块面处理要大胆。一堂课中最好不要超过三个大的环节，最多四个。因为环节少了，教师主导课堂的时间相对就少了，就能把学生推向前台。如果环节处理得非常细，一环接一环，你在课堂上就要记环节，就没办法关注孩子在表达什么，更不要说去考虑孩子语言表达背后的思维层面是什么。所以，环节越简单，你要做的事情就越少，是根据暴露的孩子的思维情况，你再去点拨和指导。所以，我倡导简化环节，大块处理。
今天的课堂上，我主要把握三个大环节：第一个是通过画、分类，初步认识平行。第二个是在图形中、生活中以及长方体框架中寻找平行线，寻找互相平行，这个过程还是在建构平行的意义。我们浙江用的是人教版教材，将平行、垂直放在一课时完成，对画法没有要求。苏教版教材是：平行、相交，然后画法。今天的课，我根据苏教版教材进行了调整，垂直没有出现。第三个环节就是通过画的过程，掌握画的技法，其实还是在建构平行的意义。这样三个环节就组成了整个课堂。在画的过程中，我也试图把平行、重合、相交，包括后面将要涉及到的垂直，垂直是相交的一种特殊情况，进行一个体系上的沟通，形成一种结构化的东西。我当初大致的设计意图就是这样。
今天上完课后，我主要有两个想法：我们如何根据学生的课堂学习的进程和节奏，更好地调控课堂的、教师推进的节奏？我觉得自己前半段用的时间比较多，后半段略显仓促，这是一个感受。第二个，既然是以学论教、以学定教，或者说以学生的学来推进我们教学的节奏和进度，那么，如何把孩子内隐的思维，孩子们知道那个意思却表达不清楚的那种感觉，如何利用同学间的交流、讨论或是教师的主导，让它外显出来？这个也是非常重要的。这也不是纯粹在课堂内就能做到，可能还要充分地从知识体系层面以及学生的认知层面去精心预设。预设过后，虽然在课堂上不都是我们教师来做，但确实要思考孩子可能会怎样。我们才能决定用什么材料、形式把学生内隐的东西外显出来，以使我们大班教学的时候以点带面、共同提高，面向全体学生。这两点，我觉得值得大家进一步去探究。

二、上重建课的打算：教师怎样把握课堂节奏？

陈洪杰：汪老师说到它的教学理念——简化环节、块面处理，我突然想到齐白石的画，画那些瓜果、藤蔓的时候用泼墨的、大块的。但汪老师的课，很多细节的地方，涉及到思维点的地方，他处理得是很细的，比如说画法、平移等。这些细节的处理就像齐白石画中的小虫子。这样既有泼墨，又有工笔，整节课的节奏感就出来了。——我先追问两个问题：庄老师说到“拿不回话筒”，如果再上这节课，怎样调整节奏，把话筒在该拿的时候拿回来？汪老师说到后半段“略显仓促”，如果再上一遍的话，前面哪些环节可以稍微“紧”一点，后面可以从容一点？
庄敏：关于拿回话筒的问题，这也是之前在几次试上中出现的问题。从技术上来说，我可以打断他们。但孩子讨论的正起劲，我又不忍心打断。可能接下来又会出现一些新的想法，正是我们需要的，也是需要他们去进一步讨论的，所以我不忍心打断。这也是刚才我想提出来的一个问题：在这样的课堂上，学生成为了主体，那么教师的介入什么时候是合适的？
我感觉今天在相交的问题上，介入得晚了一些。垂直是不是相交，垂直和相交到底有什么关系，虽然他们讨论的很充分，但之前的几个孩子就已经把问题表述的相对清楚了，可能我在这两个问题一开始暴露出来的时候，就应该介入，这样处理课堂的节奏会更快一点。
陈洪杰：把相交部分再处理得快一点。汪老师，您呢？
汪培新：自己提出的问题，又回到了自己这里。具体怎么处理，我也没有完全想好，就一堂课来讲，有的时候有点难处理，看我们的目标定位。
为什么我会觉得略显仓促呢？如果是人教版的教材，画法不作重点的话，那我觉得就没有关系。我是看了苏教版的教材，在这一课时中，要教孩子学会画平等线，所以我才感觉后面还没有“踩实”。所以我觉得一种办法就是：既然以学论教，就干脆不处理，甚至把前面的部分再放大一点，后面的内容就放在后面的课时中再去处理。如果几头都要兼顾的话，可能弄到最后，就会“四不像”。操作层面，如果意义建构非常到位，真的是孩子自主建构起来的，画法应该不会有很大的问题。我们是不是可以把一堂课放在一个课程的体系中去看待，而不过份地追求一堂课在整体上的完整？
第二种，如果一定要去处理，两块的时间用法可以统整一下。第一块分类讨论的过程，第二块判断图形当中是否存在平行现象、生活中的平行线以及在长方体框架中找平行线，这两块的时间可以统整一下。大家可能感觉到了，我的教学推进其实是围绕着一个核心目标平行推进的，并不是某一个环节解决一个问题，下一个环节解决下一个问题。我其实都是围绕平行的意义，在同一平面内的两条直线位置关系中的平行的意义，然后再并行推进到课堂教学中。这两块的时间可以略微调整一下。缩第一块可以，第二块在讨论的时候可以充分一点；缩第二块也可以，后面孩子在画法上可以补充一些练习。

三、“平行与相交”教学中的热点问题

1.怎样处理“在同一平面内”？
夏爱玉（南京市雨花台区实验小学）：两位老师都强调了“在同一平面内”，庄老师强调这个知识点时，好像很希望孩子们能自己发现，而汪特在处理这个问题时是通过一个长方体框架。我在备课时查了相关资料，也有老师认为，可以从课的一开始就从面入手，就强调“在同一平面内”。今天我想向两位老师请教，究竟我们上课时是从面入手，然后到线，还是像今天课上学生理解定义后，再设计一个问题，让学生感受到？另外，我们区有一位老师执教时，是通过一组立交桥，桥上、桥下汽车行进的画面来引导的。这样教，和让老师提问引导，两种方式哪种更好？
庄敏：关于“同一平面内”，如果我们不讲，学生会有歧义吗？我在备这节课时，看了很多版本的教材，北师大版教材就没有提。我个人认为，如果我编教材的话，可能都不会把“同一平面内”这个问题编进去。因为在学生目前的认知层面上，他不会出现这个歧义。
至于处理环节在前在后，前面两次试上的过程中，学生说什么是互相平行，他会读书上的概念。问到学生有什么不理解的，他会问“什么是同一平面”，都是在相交和平行之前提出来的。如果学生先出现这个问题，我就先解决这个问题，如果像今天这样学生后出现这个问题，那我就后解决，没有刻意在前或是在后。你还谈到立交桥，其实这幅图我的U盘里还有，我之前也会让学生去看。但是，当学生看到的是一个俯视的画面时，他觉得还是相交的。我觉得同一平面内是一个难点，但就这节课而言，它不是一个重点。
仲广群（南京市石鼓路小学）：刚才提出的这个问题很有意思，我们可以把思维换一个方向，可不可以与教材辩一辩？现行的教材，把相交和平行放在第一课时，然后教学垂直，优点在于：能很快帮助学生确定两条直线在同一平面内的位置关系，要么相交，要么平行，然后把垂直当作相交的一种特殊情况来处理，这样编排显得比较规整。但从课上就可以看出，这样的编排学生不易掌握。
第一：同一平面内，永不相交的两条直线，可以验证吗？这已经超出了学生的已有经验。第二：要解释“同一平面内”，必须用“异面”才能解释。第三：教材无法解释画平行线时，沿着一根直尺，再用一块三角板往下移，为什么这样移就可以说平行了呢？实际上，刚才所说的一切，都是基于垂直。张奠宙教授对这一问题进行了专门的研究，俄罗斯、德国、日本的教材首先介绍的是垂直，然后很多东西就好解释了。平行线间的距离处处相等这就是基于垂直的概念。他们怎样定义平行？垂直于同一条直线的两条直线是相互平行的。
鲁宗瑞（南京市扬子第二小学）：很多老师在教“平行与相交”或者“垂直”时候，举的是长方体的例子，我倒有个简单的方法，我不知道大家想不想看？（鼓励的掌声）这就是平行！（鲁老师双臂平行前伸，做了学生做操时整理队形的动作），这就是不在同一平面内！（鲁老师左臂继续前伸，右臂斜向上）
2.要不要提出“垂直”？
华琴（南京市栖霞区摄山星城小学）：我想向汪特提个问题：您说到浙江版的教材第一课时的内容是相交、平行和垂直意义的认识，第二课时才是关于平行线的画法。既然您知道这种安排，今天根据学生的实际情况，您为什么没有这样教呢？您让学生自由地画两条直线，画完后让学生分一分类，分完后，其实有三种情况：相交、重合还有平行。我觉得，这个时候，自然而然地提出垂直对于学生来说应该是自然的事情。您为什么不把垂直也是相交的一种情况顺便提出来呢？这是我的第一个困惑。
汪培新：为什么没有提出垂直的概念？如果从以学论教的角度来讲，这不是刻意的，因为今天出现的画法中，没有出现很多垂直这样的情况，学生画出来的基本都是四个角不相等的。如果孩子提出来，有一种情况是垂直，我一定会去带着讲这个概念。既然今天孩子没说，我就不提。课堂有一个主旨、主环节，其他时候教师根据学生的情况来把握，没有说刻意要呈现，也没有说特意不呈现。
仲广群：前面提及其他版本教用垂直引入平行，其实，这样的安排也还是值得推敲的。比如说，垂直于同一条直线的两条直线相互平行，听起来是不是更像一个定理？这个定理要不要证明？小学生是不是能很好地理解这个定理？等等。我课前和庄老师议过这个话题，曾经也试图把垂直的概念前移，发现新的困难依然存在。而今天庄老师和汪老师，都用自己创造性的教学方式作了处理，教材的无奈与教师的有为，恰恰证明了教师在教学中个体创造性的发挥。
孙谦（南京市游府西街小学）：刚才有老师提出，汪特已经知道了这节课可以教垂直，为什么不在这节课上教。我的想法是，人教版和苏教版的教材都是经过了各位专家很长时间的实践和论证，我们相信专家在之前都经过了充分的考察，也充分了解学生的学习水平。如果教材这样安排，教师却按照自己的意愿来改变，我觉得是不太可能的。老师对于教材的尊重有没有？我觉得应该有。可能我们老师需要做的更多的工作是基于你的学生去考虑，而不是去改变教材的“序”。
3.要不要提出“距离”和“交点”？
许红梅（南京市江宁科学园小学）：我们今天的两节课都是 “平行与相交”，我记得第一节课上，学生提出通过平行线之间的距离来确定它们两条直线互相平行，我就想，这个是不是所有的学生都能理解呢？会不会其他同学会想这个斜着的可能也是距离呢？这在孩子的认知顺序上，会不会有点打乱？这是我的第一个疑问。第二个问题，在第一节课上，庄老师从平行线的定义入手没有提到交点的问题。而汪特的课上，从一开始就介绍了交点，从一个点相交，到重合无数个点，最后到平行0个点。我们在教学这节课的时候，需不需要从交点去更深入地认识平行呢？
庄敏：我今天这节课，停留的角度就是对平行和相交的一个感性的认识。如果说是这样的话，我想学生知道这个点，不知道这个点也好，我想他对相交是什么样应该还是认识的。至于您谈到的距离的问题，也是学生课堂上自己提到到，他认识的距离可能还不是很规范。但是我想，和刚才一样，他是有一定的感性认识的，他知道那个宽度是一样的。包括前面几个学生讲得都不准确，说长度是一样的，所以我认为这是反映了孩子最基本一种感性的认识，或者说是一种表象。我们苏教版教材在学完垂直以后，还会再出现去量平行线之间的距离处处相等，我想到那儿进一步给学生细化，可能会更好一点。
陈洪杰：关于“距离”的问题，我想说两句。许老师的是不是有这样的困惑？就是说我们今天初次认识平行线，那么平行线是什么我们还没有认识清楚，怎么会用后面的平行线之间的距离相等来解释今天的知识呢？这样的现象不仅仅在认识平行线当中有，比如“角的初步认识”，大家会让学生来操作活动角来验证角的大小和两条边的长短无关，只和张开度有关。但是，角的大小都没有定义，你就让他操作，得出角的大小的决定因素，这在逻辑上的确有点讲不通，但根据儿童的特点，这是可以的。
今天这节课，我们可以让儿童说距离来认识平行，但是老师可以追问：你指的距离，你能不能来画一画？然后再追问全班同学：你们同意吗？如果大家都同意，都认可，这个环节就可以过去，没关系。
4.选择怎样的教学材料？
华琴：我还有一个问题。我们省的特级教师王凌老师说他在教学“长方体和正方体的认识”时，不管去哪里上课，都会引用一个很经典的情境——“切萝卜”。因为他觉得这个情境是最朴实、最实用。我觉得您今天用长方体框架来帮学生认识，这个材料的应用也很经典。但对这个材料的运用，我还有一点个人的意见：从长方形到长方体，从平面到立体，这个拓展对于现阶段的学生来说是否有点拔高？
汪培新：从形到体，我没有想过这个过程中难度有多少，平时上课，我会利用教室的场景，寻找教室里的一条已知线的平行线，孩子可以找到很多。我再问，那边也有一条，也和它不相交，那他们也是互相平行吗？这就是我们说的“异面”的问题。在外面上课，有些教室不是很规整，我就带上这个长方体框架。在寻找的过程中，我允许孩子一开始只找到1组，通过引导，孩子有可能找到6组、12组，找18组确实是有点困难的。孩子之间是有差异的，思维比较好的孩子可以达到这个程度，一般的孩子只要能借助平行的意义能够寻找到相应的平行线就可以了。
这里有一个突破是关于“同一平面”这个问题。我想过这样一个话题：我们能不能换一种方式来定义平行：为什么说垂直于同一直线的两条直线互相平行呢？小学生能不能感悟到这个问题呢？有的时候可以。孩子包括我们成人对平行是怎么理解的，只有数学老师会说：同一平面内，永不相交的两条直线互相平行。一般人会认为：方向一样的那样两条线就是互相平行的，在生活中其实更多的是从方向相同的角度感悟平行的。如果去观察孩子画的平行线，他们最喜欢画什么样的平行线？竖竖的，平平的，平行于水平面或者垂直于水平面，斜的那种他不太喜欢画，因为生活中看到的更多是前两种，他是源于生活的。在来这里上课之前，我也在自己学校里试了一下，孩子认为这两条直线方向不同的，那两条直线方向一样的，方向相同的两条直线一定在同一平面内。如果这样去界定平行，可不可以？——个人认为关键是孩子的头脑中将这种表象建立起来，至于形式，没什么关系。
陈洪杰：说到在头脑中建立表象，并不是像我们想象的立体的体验要比平面的更难，学生体验一个东西的难度并不是从点、线、面、体这样逐步上升的。课改前的教材编写是按“点、线、面、体”这样的顺序，但课改有的教材在低年级就出现了“体”和“面”，然后再按“线、面、体”进一步深入学习。所以，个人认为，王凌老师的“切萝卜”是个好素材，汪特的长发体框架也不坏。前者很生活化，后者更数学味。

四、“以学定教”的热点问题

1.以学定教与课堂效率
鲁宗瑞：我在担心，课堂教学当中，会不会因为我们以学定教，而忽视了课堂教学一定要高效，一定要有效？比如汪特这节课，我统计了一下，学生画一画、贴一贴、分一分，到分一分的讨论结束，已经花了20分钟多一点。如果教师先出示几组线段，有平行的，有看上去相交的，有延长相交的，让学生先观察，再分一分。这样教学行不行？我觉得这样子可以节约很多时间，使我们的课堂教学在有限的时间里能够更加高效。
吴卓（珠江路小学）：这个话筒已经有好多人想要抢，但我死抓住不放。（众笑）因为这个机会非常好！鲁老师是在质疑汪特要不要让学生去画，还是直接提供这样一些素材。那我就提供一个观点，首先，很多时候慢就是快，你不要觉得我们拼命往前赶就是快，其实有的时候快就是慢。其次就是，当你老师来提供素材，实际上和孩子的关联是很少的。美国的国家实验室曾做过一个实验，就是一项学习，如果孩子的参与度越高，他们的收获就越大。所以，看似无用的让孩子画这些线条，实际上这些线条来自孩子自己，等会儿讨论的时候孩子们会觉得这些线条和自己息息相关，他会很关注，看似浪费，实际上却是快，却是高效。
陈春（南通市通州区南兴小学）：刚才一个老师说是来自农村，你是来自省城的农村，我来自县级的农村，来自长江边上南通市下属的一个县下属的一个镇下属的一个村小。（众鼓掌）我录了两位老师的课。汪特的课上，在14分09秒的时候，一个孩子说第5幅图应该归到第一类当中去，这实际上是整个课堂思维的转折点。汪特花了14分钟，为什么？在这个地方，这样教才是以学定教，是孩子他自己生长出来。如果一开始就说同一平面内两条不相交的直线就是平行线，然后下面类比一下，绝对高效，没有孩子会错，在知识传递方面没有任何问题。但是从学生自己生长的角度来讲，我觉得前面十几分钟时间是值得的，而且在当中更多的孩子是有疑问的啊。这一节课，如果从“动”和“静”来讲，静的环节不能说是一个消极的环节，静得过程学生可能在思维、在碰撞、在延伸。
2.以学定教与学生负担
戴守楠（南京市小营小学）：学生在学习之前还有个学习单，这节课是40分钟，学生课后的时间做些什么？第一，学习单肯定是要做的；第二，课后练习是要做的；第三，学生还有其他的课业要做。那么在时间上面够不够用？
庄敏：我先讲学习单的问题，其实这节课的预习作业就两题，看完书之后回答两个问题：第一个，你自己说说什么是平行，什么是相交，然后举个例子。第二个就是书上介绍了哪些画平行线的方法，你还能想到哪些方法？就这两题，所以，从负担上来说，应该不是增加的太多，而更多的东西是学生在课堂和辩论当中生成的一些东西。
张桂琴（仪征市华兴小学）：这样的课学生的负担不会加重，反而会减轻，老师也会更加轻松，如果这样坚持的话。我每节课之前是布置预习作业的，分三个层次：第一层次，所有的学生都应该掌握；第二个层次，班级里有一半学生能够掌握；第三层次，你爱学不学。这样做以后，我感觉到课堂的效率提高了，上课也很轻松。当然，学生预习了，你就不能再按照原先的程序进行教学，原来的课堂教学程序应该打乱。学生的预习作业应该是学生能够解决、教师深度思考以后的作业，在课堂开始的时候，你先检查一下学生的预习，学生获得了什么，然后课堂后半段时间，你应该把课本上的作业重新整理，打乱，揉碎，再搀和在一起。就像文学上所说的，捏两个泥人，打碎了，再捏在一起。
3.以学定教与课堂“小明星”
陈春（南通市通州区南兴小学）：今天这个班的孩子是庄老师自己带的，表现非常好！前面一个老师说，这样的课是不是能够模仿，是不是能够去学，这当然需要长期的过程，你今年换个班，一个月时间恐怕是不可能达到这个效果的。在庄老师的课上，我也记住了一些孩子的名字，金志凌、朱鹤、荆可薇等。我怎么记住他的名字，当然是他们出现的频率比较高，以学定教，以谁的学定教呢？
庄敏：其实，我们整个数学组我跟仲特唱反调唱得最多！我的学生什么时候开始训练的呢？我可以向你保证，只有一个月！前面包括“认识角”和“混合运算”，我都是用这种方式上的且达到很好的效果，最后的接受确实是从自己班上得来的。那个量角时量角器的摆法是个难点，学生在预习之后就不是难点，他在预习就能发现，只要你给学生放开来，我相信不会太长的时间他也能大胆地讲，我们最怕的是学生不讲，只要敢讲了，你就会有材料下锅。至于学生发言率的问题，如果是我上的话，由我来点发言的学生，我不会重复点一个人。但我们要注意到是谁在点学生回答，是上来的孩子在点。当然，让更多的学生发言也是我们以后训练要注意的地方。
张美芳（南京市石鼓路小学）：对于许多老师困惑的课堂上出现“小明星”的现象，我觉得并不是什么问题，有的孩子内向、有的则外向，不发言的不代表他不会。难道你想让每个孩子都成为口才一流的外交家？我想没必要过分追求发言面的广，如果能坚持从一年级就鼓励孩子大胆去说，课上给予孩子更大的思维空间，不管是孩子的学习能力，还是数学的表达能力都会有长足的提高！
陈洪杰：陈春老师提到了课堂上的“小明星”现象。其实庄老师可以强行控制，但她没有去控制，这恰是一种理念的体现。我倒是有个建议，老师们你们敢不敢放，就以庄老师的课回去试试吧！我们说以学定教，说得再多别人不能代替你的。教学是放手的艺术而不是收的艺术。另外，以学定教我们说是一种教学方式，更多情况下其实也是学生的学习方式，师生互动的最终结果构成这样一个定性。不过，教师提醒一下学生不要老是点已经发言的同学，这应该是可以的。

五、结语

金春平：我想从教学的方法及教育的理念这个层面去思考一些问题。
今天庄老师的这个教学的方式，可以叫“助学”；第二节课是汪特的，可以概括成“导学”。每一种教学方式都有自己的特点，在它特点形成的时候，它的优点形成了，但是它的缺点也自然存在，这是一个很辩证的东西!
当我把这个观点讲述完之后，我们再来看这两节课的教学方式。第一节课它是一个助学，实际上是一个先学后教，这节课在教学技术层面体现的非常充分，老师们你们经常出来听课，在你们听过的课中像这样的课，近几年你们听过几节？！我们听得不多！这是一个。第二，庄老师今天是不怎么教了，你在她的老师角度替她想一想，老师们如果突然不给我们讲了我们会教吗？这节课老师提出来高效有效的问题，我想这类课，我们更多应该从长效去考虑。我们现在的数学教学就是太急功近利，我考虑的是眼前的利益就是我这节课我教的东西你会不会。很少考虑到我这节课教会你如何去发展，教会你如何去做人。在我对特级教师王凌做的专访中，他说到，“过去我们的思想只在教学这个圈子，从美国考察完之后，我考虑更多问题，也有许多问题想通了。”今天的两节课我们能不能换个角度，从数学教育角度去考虑并考虑更深层的问题。
我们要考虑的第二的问题就是，你是以学定教，老师的教怎么呈现？老师的教怎么来解决？我想到一句话叫及时干预。比如说学生在讲两直线相交形成四个角，怎么回事的时候。我想讲的第二句话就是要适时点拨。比如说当学生在讲出平行的时候，没注意到互相平行，老师这时就可以适时点拨。
那第二节课就是导学，我是这样理解的以学导学，跟我们过去讲的以教导学不一样。怎么知道是以学导学？看他的课是不是用课堂上学生生成的资源来引导学生的学习，是不是用课堂上学生想的问题来引导学生学习。汪特在一些地方处理得非常好，比如在两平行线间讲到一个距离问题等。对于汪特的课也有值得思考得地方，就是有些经验有些材料如何发挥数学方面的作用。比如说一开始你启发学生画一条直线再画一条直线，我在想这多好啊！在一张纸上画是什么呀就是一个平面啊，实际上关于一个平面问题我们不需要搞那么深，我觉得这个地方就是抓住这个材料让学生体会在一个平面，你若是想讲清楚，往往不一定能讲清楚，这是我所说的第一个地方。第二我要讲的是，在分类时学生怎么会用那么长时间，如果说这节课那个地方可以改进的话，我觉得这个地方可以改进一下。为什么在这学生老分不清呢，因为在那些材料中有假性材料，比如说那个V字形它看似有一个交点，如果我们及时把这个材料分离出来，这个问题自然而然地就解决了。我觉得我们对学生提供的材料，在数学层面上还可以做的更好一些！
刘娟娟（南京晓庄师范副教授）：以学生的学来定我们的教的时候，可以在这几个方面作个拓展：比如说在学生学的时候遇到困惑，在困惑的地方老师该如何教，我是不是可以教给学生一些方法和操作，这个时候老师应该站出来帮他解决这方面问题。
我们在课上也看到有些学生在课上对一些概念他可能说不清道不明，在这个地方老师应该站出来考虑一下，帮助学生形成合理的数学语言的表达。数学语言是一种外显的思维外壳，要培养学生的数学素养的话，数学语言的培养肯定是需要的！数学的教学实际就是数学语言的教学，把一种自然的语言提炼成数学语言。数学语言这块我们可以进一步思考它的教学方式。
还有就是学生理不清数学概念之间的关系的时候，教师也应该站出来，本身数学概念之间是有联系的，但学生可能看不到这种联系。我们可以从培养学生认知结构这种角度去思考怎样把知识间的结构呈现出来!这个学生是无法自己完成的，老师需要思考概念间的关系，这是第三个方面。
还有就是让学生掌握理解概念并不是说学生能完整地表述出概念，只要能抓住其中的关键词就够了。真正掌握概念应该是他能够运用这个概念去解决一些实际问题。在帮助学生将知识形态转化为能力形态的时候，我想教师应该在练习的设计和生活运用方面多去收集一些资料，帮助学生实现知识往能力上的转化。
陈洪杰：谢谢金老师和刘老师精彩的总结！有庄老师这堂课的一个绚烂的开始，我想给它划下一个诗意的结尾。我来读八行诗，前四行是我预告第二次辩课的预告中的四句话：
总有些问题不能回避，
总有些历史不该忘记，
总有些经验需要继承，
总有些脚步渴望回归。
后面的四句是一首古诗，题目是《大林寺桃花》：
人间四月芳菲尽，
山寺桃花始盛开。
长恨春归无觅处，
不知转入此中来！
——谢谢，这次辩课到此结束！

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小学数学常用术语解析

在小学数学说课中，各位教师常用到诸如“根据小学生的心理特点、具体到抽象、概念、逻辑思维、思维品质、判断与推理、演绎与归纳”等心理学、教育学和逻辑学知识，但在运用中，部分教师张冠李戴，没有正确理解，错误运用。为了避免这种错误，在此特作一个有关常用术语的简析讲座。        1．小学生的年龄心理特点与数学学科特点。小学生的年龄一般在六周岁至十二周岁，在心理学称为学龄初期。这时期的小学生的心理特点是：（1）对新奇的具体的事物感兴趣，感知事物时，目的性不够明确，无意性和情绪性比较明显，对事物的主要与次要特点分辨不清；爱动、好问，注意力不够稳定，很难长时间把注意力集中到同一学习活动上；善于记忆具体事实，而不善于记忆抽象的内容等。（2）思维发展的基本特点，从具体形象思维逐步向抽象思维过渡，但这种抽象逻辑思维在很大程度上仍然靠感性经验的支持。       数学是研究现实世界的数量关系和空间形式的一门科学。具有三个明显的特点：（1）抽象性。任何一个数学概念，法则都是从大量的具体事物中抽象概括出来的；（2）严密的逻辑性。数学的概念、法则等叙述要精确严密，结论要经过严密的论证；（3）应用的广泛性。数学在生活、生产和科学技术有着广泛的应用。       小学生的年龄心理特点与数学学科特点形成了矛盾的对立。主要表现在A数学知识的抽象性与小学生思维的具体形象性B数学知识的严密性与小学生对事物理解的简单化C数学知识应用广泛性与小学生接触生活实际狭窄。解决这些矛盾一般从小学生的年龄心理特点出发：（1）要按照儿童的认识规律组织教学。小学生的认识规律通常是：从直接感知––––表象–––––概念–––––概念系统。所以要理解数学的抽象性，必须有丰富的感性材料。直观教学是为学生提供必要感性材料的一种主要途径。（2）要适应学生的思维特点，又要通过数学知识的教学，发展学生的思维能力。小学数学教学中，受儿童思维发展水平的限制，有些概念，可以用描述代定义，或者用通俗易懂的语言，提示概念的本质特征，而不下严格的定义；但必须注意与严格定义不能矛盾。对于一些法则、运算性质等，可以通过具体事例或利用已有知识加以说明，不进行论证，但要使学生正确地理解和掌握所学的知识。同时又要通过掌握知识的过程，发展学生的思维能力，逐步培养学生形成正确的思维方法。也就是要结合数学教学内容，引导学生初步学会运用分析、综合、比较、抽象、概括等思维方法。（3）要逐步培养学生联系实际能力。数学的应用是非常广泛的，但是，小学生学到的数学知识还很少，社会生活经验还不多，不可能应用数学知识解决许多问题。所以在教学中，一方面要注意从学生的生活经验引入新的概念；另一方面则要培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。      2．兴趣与小学数学教学。兴趣是一个人积极探究某种事物或进行某种活动的意识倾向。学习兴趣是学生对学习活动或学习对象的一种力求认识或趋近的意识倾向。兴趣是学习的首要原因。因为学习兴趣是学习动机，是学习积极性中很现实、很活跃的心理成份，它在学习活动中起着十分重要的作用。当一个学生对某种学科发生兴趣时，他总是积极主动、心情愉快地进行学习，而不会觉得是一种负担。否则，学生就可能只是形式地、勉强地去学习。       兴趣可分直接和间接兴趣。直接兴趣是指对某一种事物或某一活动本身的兴趣；间接兴趣是对某一事物或某一活动本身没有兴趣，而对这种事物或活动的意义感到需要而产生的兴趣。小学生以直接兴趣为主。数学科目较之其它科目，能激发学生情感的材料较少，难以引起学生的直接兴趣。因而，在小学数学教学中，培养学生学习的间接兴趣很重要。怎样培养呢？（1）要注意引起学生学习数学的直接兴趣。利用多种手段，通过教具的演示，学具的操作，变换练习方式等。注意使教学内容适合学生的接受水平，使学生不断地获取新知识，随着数学知识的不断扩展和加深，增强学生对学习内容产生直接的兴趣。当学生对独立思考的学习作业，运用数学解决实际问题等智力活动产生兴趣以后，新知识、新方法的获得往往伴随着成功的愉悦，使数学学习增强吸引力。（2）要促使学生的学习从直接兴趣转化为间接兴趣，形成持久的学习动力。因为学好数学毕竟要付出艰苦的劳动，难免碰到困难，单靠对学习外部活动的兴趣是不能形成持久的动力的。当学生具体了解到数学和自然科学、工程技术、经济建设以至日常生活都有密切关系时，数学课就成了一门有兴趣的学科。（3）开展多种形式的辅助活动，开阔学生视野，激发学生学习数学的兴趣。如：有趣的思考题；出版数学墙报；介绍数学家的故事；组织数学竞赛，举办数学晚会等。还要注意保持学习过程、教学过程的愉快的气氛，稳定学生的学习情绪。教师对的学生听讲、发言、作业、考卷都要及时地、正确地评价，评价要把肯定成绩与指出不足相结合，以表扬鼓励为主。通过评价能使学生看到自己的进步，增强信心，激发求知欲。      3．直观。在小学数学教学中，运用实物、模型、挂图以及参观、操作等手段进行教学，称为直观教学。直观教学有助于学生获得感性认识，就是通过实物或实践，外界事物作用于学生的感觉器官而在学生大脑中产生的感觉、知觉和表象。直观具有生动性、具体性和直接性的特点。      直观教学在小学数学教学中具有重要的地位。鉴于小学生的思维一般地还处在具体形象思维阶段；而在小学数学教学中，他们要接触并必须掌握的数学知识却是抽象的，这就需要在具体与抽象之间架设一道桥。直观正是解决从具体到抽象这个矛盾的有效手段。（1）运用直观，可以使学生获得大量与数学知识密切相关的感觉、知觉和表象，在此基础上再进行抽象概括，就可以形成数学概念。（2）小学生形成的概念水平，与掌握感性材料的多寡有密切的联系。在教学中，让学生多看、多操作，目的就是要让学生多积累感知材料。（3）心理学实验表明，在教学过程中运用直观和操作，能调动小学生耳、眼、口、手多种感官参与学习活动，使学生的大脑保持兴奋状态；感知比较敏捷，想象比较丰富，思维比较活跃，有利于学生形成完整正确的概念，并且记忆比较牢固。所以从直观和操作开始的数学教学，是帮助儿童掌握数学知识，培养学习兴趣，发展智力和能力的必要途径。     直观在小学数学教学中，也有局限性，主要是只能把握个别而不能把握一般，只能把握现象而不能把握本质。在教学中，要引导学生从感性认识提高到理性认识，不要停留在直观的水平上。必须明白，直观的本身不是目的，而是手段。教学的真正目的在于使学生掌握知识，发展思维，并使之达到理性认识的水平。      在运用中，并不是在任何情况下，教学都要从直观入手，在学生已有有关经验的情况下，可以不必通过直观，直接利用已有经验建立新的概念。只有对所学的概念、法则等缺乏感性知识的依据时，直观才是不可缺少的。直观是为教学目的服务的，要克服为了直观而直观的倾向。       4．概念。反映对象的本质属性的思维形式叫做概念。数学概念是反映现实世界的空间形式和数量关系的本质属性的思维形式。反映于概念中的对象的本质属性的总和叫做概念的内涵。适合于某一概念的一切对象，好概念所指一切事物，称为概念的外延。提示概念内涵的逻辑方法，即指出概念所反映的对象的本质属性的逻辑方法称为定义。      概念是逻辑思维的“细胞”，人在头脑中必须运用概念，才能进行判断和推理。学生掌握知识的过程，就是掌握概念并运用概念进行判断、推理的过程。在小学数学教材中对概念编排上有如下特点（由于儿童思维的特点和知识的局限）：（1）概念的出现不可能完全按知识体系本身的要求。知识的体系的要求往往是从一般到特殊，而按儿童的认识规律则适于从特殊到一般。（2）对概念的认识不是一次完成的。（3）有些概念给予科学的定义，有些概念则不给定义，而通过描述或举例说明的方法给出。    根据以上的特点，在小学数学教学中，新概念的教学一般按如下步骤：A直观形象地引进概念，为学生提供适合概念的感性经验，并引导学生发现其本质属性，然后由教师给出表示这个概念的名词。这就是由感知到表象的阶段。B抓住本质属性，给出定义或描述概念。这是由表象到形成概念的阶段。C      引导学生在实际中运用概念，在运用过程中加深认识。D把新旧概念联系起来，把新概念纳入某一概念系统中去，以加深对概念的理解。      只有在概念系统中去掌握概念，才能对概念进行分析、比较，把握它们的联系和区别，深化对概念的理解；否则就很难了解概念的确切含义。学生掌握概念系统的过程，就是领会精确而有系统的知识的过程。学生从感知到表象，从表象到掌握概念，从掌握概念到掌握概念系统，是儿童认识发展的一般过程，也是掌握概念的一般规律。      5．判断、推理。判断是关于对象和它属性有所肯定或者否定的思维形式。在研究数学中，经常要对现实世界的空间形式和数量关系，作出肯定或者否定的回答，因而要大量使用判断，并把一些正确的判断作为进一步研究问题的依据。小学数学中的定义、定律公式等，都是判断。判断是由概念组成的，是概念相互联系是形式。任何任何判断都是学生对数学知识的认识，是对数学知识之间联系的反映。判断是形成逻辑思维能力的重要一环。思维过程要借助于判断去进行，思维的结果也是判断的形式表示出来。        判断可能是正确的，也可能是错误的。思维中形成判断有两种基本方法：一是直接法，表现实践中感知的结果；二是由推理以后产生的。        由一个或几个已知的判断（前提）推出未知判断（结论）的思维形式，叫做推理。学习数学知识的过程，离不开推理。推理是间接地认识事物的一种思维形式，是由已知到未知的思维过程。要使推理的结论真实，必须具备两个条件：A前提真实，B推理形式正确。推理有演绎推理、归纳推理、类比推理三种基本形式。        6．分析、综合。分析和综合是思维的基本过程，是统一的思维过程的两个方面。从解决问题的角度上来说，分析是指把事物的整体分解成各个组成部分，或者在头脑中把整体中的个别特性或个别方面分解出来，进行研究的思维过程；综合是指把事物的各个组成部分联合起来，组成一个整体，或者把事物的个别特性或个别方面结合起来组成整体，来进行研究的思维过程。分析与综合是小学数学教学中常用的方法。         分析和综合是使学生理解和掌握数学概念、性质、法则等基本的思维方法，并且是协同进行曲的。在应用题、四则混合运算、几何初步知识等教学过程中，经常要用到分析与综合的方法，这是小学数学教学中必需运用的逻辑思维方法。       培养与发展分析、综合解决问题的能力，要有一个过程，一般来说，低年级要借助实物直观或表象进行分析综合；高年级主要是通过语言进行分析综合；中年级处于二者的过渡阶段。      7．比较。确定研究对象的相同点和不同点的思维过程和方法叫做比较。在运用比较法时必须注意：比较应当有意义，即彼此有某些联系的对象才能进行比较。       在小学数学教学中，由于数学有严密的逻辑性，概念与概念之间，判断与判断之间，乃至推理的思想方法之间，都有着密切的联系与区别，都需要通过比较加深认识。因此，比较是小学数学教学中常用的方法。其作用在于：（1）在新知识教学中，常把新知识和与之有联系的旧知识加以比较，找出共同点，使学生能够把握知识间的内在联系，并通过知识的迁移，更快掌握新知识。（2）运用比较法可以帮助学生区分容易混淆的概念和方法，提高识别能力。通过比较突出两个概念或公式的相异点，这是排除干扰（负迁移）的重要条件。（3）同异综合比较，是对两个或两个以上事物之间的相同点与相异点的探索。客观存在同进个有前两种比较的特点，能提供较为全面的认识，有重要科学价值，在小学数学教学中也经常使用。        在采用不同方法解决同一问题时，通过比较区分各种解法的优缺点，从中寻求优良的解法，是提高学生解题能力的好方法。比较是重要的思维过程，在学习活动中起着重要的作用。比较能力的发展也是学生思维能力和学习能力发展的重要成份。教师要通过教学活动，注意培养学生掌握比较方法和进行比较的思维习惯，使学生的学习能力得以提高。         8．抽象、概括。抽象和概括是形成概念的思维过程和方法。抽象是在思维中抽取所研究的事物的本质属性而舍弃非本质属性。概括是在思维中把从某些具有若干相同属性的事物中抽取出来的本质属性，推广到具有这些相同属性的一切事物，从而形成关于这类事物的普遍概念。          数学概念和一般原理都是通过抽象和概括形成的。首先，是在对事物的属性作分析、比较 、综合的基础上进行抽象。           在小学数学教学中，要注意培养学生的抽象、概括能力，但应注意：A要注意认识的阶段性，不要操之过急。B在培养过程中，必须紧紧与具体事物相联系，也就是必须从多个有代表性的实例中抽象、概括出一般原理，还要再举出典型事物加以说明，帮助学生理解。C通过抽象和概括形成某一概念或原理以后，要注意把这一概念或原理纳入原不的知识体系，形成更高层次的抽象概括。        提高学生的抽象概括能力，对于学习数学有着十分重要的意义。因为学生的抽象概括能力越高，在学习中的迁移能力就越强，对新知识的理解和掌握也越快。培养学生的抽象概括能力也是培养和发展学生的逻辑思维能力的一个重要方面。

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小学数学常用术语解析（二）

9．归纳法。归纳法又称为归纳推理，与“演绎推理”相对，是由特殊推到一般的推理。归纳法分为完全归纳法和不完全归纳法。完全归纳法是根据某类中每一事物都有某一属性，推出该类全体都有该属性的归纳推理；不完全归纳法是根据某类中的一些有某属性推出该类全体都有该属性的归纳推理。       归纳法是对研究对象一一作出了考察的基础上进行推理，它所作出的结论是正确的；不完全归纳法所得到的结论所涉及的对象超出了前提所涉及的对象，因此，并没有为结论提供充足的理由，不能保证结论是正确的。在小学数学教学中，限于学生的知识水平，很多结论不可用严格推理，而只能运用不完全归纳法得到。       用不完全归纳法得到的结论的正确性必须经过证明（通常用演绎法），但在小学数学中，一般是不讲证明方法的。因此，使用不完全归纳法，用来进行归纳用的例题要具有代表性，注意没有例外，以避免以偏概全，使得出的结论能够正确。用不完全归纳法得到的结论，尽管有待证明，仍然是一个重要方法。第一，它体现了“由简单到复杂”，“从具体到抽象”的原则，这是传授知识的必要方法；第二，它作为一种研究方法，通过对几个特殊情况的讨论，预见某种规律性的存在，是培养学生创造性思维能力的重要方法。      培养学生使用不完全归纳法的一般的作法：A引导学生通过对具体实例的直接观察，进行归纳推理，得出结论。B通过对实际例子分析，归纳出结论、原理或计算公式。C用归纳法作为一种研究问题的方法。        10．演绎法。演绎法又称演绎推理，同“归纳推理”相对，是由一般到特殊的一种推理。其前提是一般原理，结论是特殊事实，前提和结论之间的联系是必然的，是一种确实性推理。即从真前提，必然地得出真结论的推理。数学中的推理主要是演绎推理，常用三段论法，它的格式是：                         若A2则A3––––大前提（第一个命题）                         且若A1是A2––––小前提（第二个命题）                         所以，若A1则A3–––––结论（从第一、二个命题推出第三个命题）                         小学数学中的结论，一般不出现严格的证明。因此，课本中很少出现严格的演绎法格式。                         在小学数学教学中，演绎和归纳往往不是孤立地出现，而是紧密地交叉在一起。运用概念进行判断，运用法则解决实际问题，都是使用演绎法。数学是演绎科学。教师在教学过程中，必须注意小学数学的概念系统，知识结构，逻辑联系，以便在教学过程中渗透演绎推理方法。        演绎法是一种有步骤、有条理、有根据的推理格式。在小学数学教学中，不仅要求学生会算题，而且要求学生弄清算理，逐步学会讲明道理。这是潜移默化地对学生进行演绎推理训练的好方法，是培养学生逻辑思维能力的重要途径。         11．类比法。类比法又称类比推理。根据两个不同对象某些属性的相同，推出它们的其他属性也可能相同的间接推理，称为类比推理。类比法是一种由特殊到特殊的推理。          类比法可沟通各部分知识的联系。在小学数学教学中，常常用类比法把两种不同的新旧知识进行类比，找出知识之间的联系，建立新的概念系统。         类比推理是一种或然性的推理。即从真前提， 或然地得出真结论的推理。也就是说，由类比推理得到的结论只是一种可能，它是否正确还需经过证明。但在小学数学中，一般不出现证明方法。因此，在教学中，既要重视类比法的应用，又要防止学生乱用类比造成错误。      在小学数学教学中，适当对学生进行类比法的训练，这也是培养学生创造性思维的一种方法。不过，对类比法得到的结论，要提醒学生养成想想是否正确的习惯，学会用实例进行检验，以提高判断推理的能力。        12．迁移。迁移是人们在认识过程中普遍存在的心理现象。在学习过程中，先前内容的学习对于以后内容的学习所产生的某种影响叫做迁移。这些影响有互相矛盾着的两个方面。一方面是已经学习的知识，已经掌握的技能对新知识的学习、新技能的掌握产生的影响是积极的，能促进新知识的学习、能促进新知识的学习、新技能的形成，称为正迁移；另一方面是已经学习的知识、已经掌握技能对新知识的学习、新技能的掌握产生的影响是消极的，干扰新知识的学习、新技能的形成，称为负迁移。正迁移有时简称迁移，负迁移也叫做干扰。      小学数学教学中，应该充分利用正迁移，努力排除干扰。这对于教学新知识、巩固旧知识都有重要的意义，也是培养学生学习能力，提高小学数学教学质量的重要方面。       迁移所依赖的主要条件是不同知识存在着共同因素。在教学新课时，通过发掘新旧知识的共同因素，充分利用这些共同因素，创设迁移情境，就可以沟通新旧知识的内在联系，逐步提高学生学习和探索新知识的能力。对于新旧知识的共同因素比较隐蔽的，则通过铺路搭桥，显示共同因素，促使知识逐步迁移。      提高已有知识的概括水平，是促进学习迁移的重要因素。概括水平是有层次的，概括水平高，就能从更高层次提示新旧知识共同本质属性，促进学习的迁移。        干扰产生的主要原因，是新旧知识存在着易于混淆的因素。在教学过程中，应通过对比区分出它们的不同点，排除混淆因素，防止原有知识对新知识学习的干扰。       在教学中，为了更好地运用迁移规律，要注意引导学生把学到的知识、技能，进行系统地整理，弄清彼此间的和区别，提高学生的概括水平，促进正迁移的实现，排除负迁移的干扰。         13．反馈。反馈原是控制论中的一个概念，是指在控制系统中，把信息输出去，又把这些信息作用的结果返回来，对信息的再输出发生影响，从而可以不断纠正偏向和失误，起到调整控制的作用，达到预期的目的。这就是反馈原理。为了更有效地进行教学，这个原理已经比较普遍地运用到教学过程中来。         教学过程是教与学之间的信息传递与反馈的控制过程。教师的“教”是输出信息、传递信息的过程；学生的“学”是接收信息、加工信息、储存信息的过程。在这个过程中，教师要确定教学目的、教学进度、教学方法，并通过课堂教学提出对学生知识和能力上的要求，传授知识、培养能力、发展智力，这是输出信息的过程；同时，教师还要注意及时地接收从学生中返回来的信息进行分析，并据以调整教学进度、教学过程，采取更适当的教学方法，来达到更优的教学效果。这就是说，教学过程是双向动态的信息交流过程，经过不断进行的反馈和调整，使教学更好地达到预定的目的。        反馈信息的收集，要注意多向性。一是教师上课时，不仅要=把注意力放在教学内容上，而且要随时注意观察了解学生的学习情况，从学生的听课情绪、回答问题、板演和课堂练习中，及时收集反馈信息，及来调整课堂教学。二是要从批改作业和检测中，把发现的问题整理归纳，考虑补救方法。三是广泛接触学生，在课前课后从与学生交谈、座谈中，了解学生的意见和要求，对教学作合理的调整。         教师对学生的回答、练习、作业、试卷给以恰当的评价，这个评价也是信息的反馈。学生通过信息的反馈，及时了解自己学习的结果，正确的得到强化，错误的得到改正。能看到自己的进步，找到学习班差距，从而进一步激发学习的积极性，增强学习的信心。       在小学数学教学中，大量的反馈信息是通过学生做练习得到的。因此，教师要精心设计练习、选择作业，并善于从学生错误的解答中作出准确的判断，找出原因。在教学中，教师能够正确运用反馈原理，对教学有效地调整，正是体现了教师的主导作用与学生学习积极性、主动性相结合的原则，有利于提高教学效果。      14.培养数学能力。一般认为，小学生的数学能力主要有三方面：1计算能力2逻辑思维能力3空间观念。       计算能力的培养       计算能力和计算技能是有区别的，计算能力是逻辑思维能力和计算技能的结合。可分为两个阶段：一是初级阶段，要求理解算理，掌握法则，正确计算。二是熟练阶段，要求掌握运算性质，使计算合理灵活。      提高小学生的计算能力，一、透彻理解算理，熟练掌握法则，形成计算技能。①从具体到抽象，讲清算理，归纳方法、法则。②自觉运用法则，保证计算正确。③简化计算步骤，压缩思维过程。④完全不意识法则，达到计算“自动化”。⑤组织法则系统，形成认知结构。二、加强口算与运算定律、性质的教学，提高计算效率，发展学生思维能力。①口算是笔算的基础，在日常生产、生活中应用广泛。②对运算定律、性质，一要理解，二要会用。三、培养良好的计算习惯，提高计算正确率。①认真审题。作到一审运算顺序二审习题特征三审数据特点。②重视估算。③坚持验算。       初步逻辑思维能力。这句话是在数学教师在说课中一定会用到的语句。在《九年义务教育小学数学教学大纲》和《浙江省小学数学教学指导纲要》中都指出了这一点，使学生具有初步的逻辑思维能力。在以上的几个术语中，其实都是培养学生的初步逻辑思维能力。         逻辑思维是人们在认识过程中借助于概念、判断、推理反映现实的过程。它与形象思维不同，是用科学的抽象概念、范畴提示事物的本质，表达认识现实的结果。逻辑思维是一种确定的，而不是模棱两可的；前后一贯的，而不是自相矛盾的；有条理、有根据的思维。在逻辑思维中，要用到概念、判断、推理等思维形式和比较、分析、综合、抽象、概括等方法，而掌握和运用这些形式和方法的程度，也就是逻辑思维的能力。        在教学中，要结合有关内容，培养学生进行初步的分析、综合、比较、抽象、概括，对简单的问题进行判断、推理，逐步学会有条理、有根据地思考问题；同时注意思维的敏捷和灵活。           逻辑思维能力虽有许多成份组成，但数学高度的抽象性导致了它们极大的概括性，因此可以说抽象、概括能力是其他数学能力的基础，是逻辑思维能力的核心，也就是说，它是数学能力的核心的核心。所以，在小学数学中，把抽象、概括能力作为最基础最重要的成份加以培养。加强“双基”，重视“过程”是培养学生数学思维能力的首要途径。A概括能力B抽象能力（具体––表象––––抽象––––具体）C推理能力（1根据新的结论让学生说出结论成立的根据；2从已有的结论出发，引导学生推出新结论）D联想能力（接近联想、类似联想、对比联想、因果联想、类比联想、逆向联想）E转化能力（可逆转化、假设转化、新旧转化）。培养学生初步逻辑思维能力基本途径：一、示范––––结合知识的教学，直观、浅显地给学生以“怎样正确思维”的信息。二、点拨––––对于新旧知识联系较紧密的，可以扣住解法新课题的基本思路，启发学生在已有知识基础上推导出来。三、训练––––结合有关内容的教学，有目的、有计划地训练学生逐步学会有条理、有根据地思考问题，比较完整地叙述思考过程。          空间观念的培养。初步的空间观念是小学数学教学炽要培养的第三种主要能力。小学数学中的空间观念，主要是有关几何形体的形状、特征和性质在学生头脑中所形成的表象。大纲要求，使学生逐步形成简单几何的形状、大小和相互位置关系的表象，能够识别所学的几何形体，并能根据几何形体的名称再现它们的表象，培养初步的空间观念。其过程主要是通过观察、操作、抽象、概括等途径，结合几何初步知识的教学来帮助学生形成正确的空间观念，进而培养空间想象力。1、通过观察，建立清晰表象，抽象概括出图形的本质属性，开成正确的空间观念。2、通过操作，建立清晰表象，抽象概括出图形的本质属性，形成正确的空间观念。          15.思维品质。思维是人脑对客观事物的本质和规律的概括的和间接的反映过程。概括性和间接性是思维的两个基本特性。思维的发生和发展，既服从于一般的、普遍的规律，又表现出个性差异。个性差异是指对于不同的个体，具有不同的思维特点。个休思维活动特殊性的外部表现称之为思维品质。主要有思维的严密性、思维的深刻性、思维的广阔性、思维的灵活性、思维的独创性、思维的流畅性和敏捷性、思维的批判性。         思维的深刻性––––称为分清实质的能力。这种能力表现为：能洞察所研究室的每一个事实的实质及其相互关系；能从所研究的材料（已知条件、解法及结果）中提示被掩盖着的某些个别特殊情况；能组合各种具体模式。          思维的广阔性（发散性）––––指思路宽广，善于多角度、多层次地进行探求。在数学学习中，思维的广阔性表现为既能把握数学问题的整体，抓住它地基本特征，又能抓住重要的细节和特殊因素，放开思路进行思考。           思维的灵活性––––指思维活动的灵活程度，主要表现为具有超脱出习惯处理方法界限的能力。即一旦所给条件发生变化，便能改变先前的思维途径，找到新的解决问题的方法。学生思维的灵活性主要表现为随新的条件而迅速确定解题方向；表现为从一种解题途径转向另一种途径的灵巧性；也表现为从已知数学关系中看出新的数学关系，从隐蔽的形式中分清实质的能力。           思维的独创性––––是指思维活动的创造性精神，是在新颖地解决中表现出来的智力品质。这里的“独创”，不只是看创造的结果，主要是看思维活动是否有创造性态度。学生能独立地、自觉地掌握数学概念，发现定理的证明，发现教师课堂上讲过的例题的新颖解法等，这些都是思维的独创的具体表现。             思维的敏捷性–––––指思维过程中的简缩性和快速性。具有这一品质的学生能缩短运算环节和推理过程，“直接”得出结果。运算过程或推理过程的缩短，表面看来好象没有经过完整的推理，其实它还是有一个完整的过程的。           思维的批判性–––––是指思维活动中善于严格地估计思维材料和精细地检查思维过程的智力品质，它是思维过程中自我意识作用的结果。表现为：有能力评价解题思路选择得是否正确以及评价这种思路必然导致的结果；愿意检验已经得到的或正在得到的粗略结果，以及对归纳、分析和直觉的推理过程进行检验；善于找出和改正自己的错误，重新计算和思考，找出问题所在；不迷信于老师和课本，有分析地接受老师讲的一切，凡事都要经过自己的头脑去思考，然后再作出判断。         16.集中思维与发散思维。集中思维是指从同一来源材料探求一个正确答案的思维过程，思维方向集中于同一方向，即从同一方面进行思考。在数学学习中，集中思维表现为严格按照定义、定理、公式、法则等，思维朝着一个方向聚敛前进，使思维规范化。发散思维是指从同一来源材料探求不同答案的思维过程，思维方向发散于不同的方面，即从不同的方面进行思考。在数学学习中，发散思维表现为依据定义、定理、公式和已知条件，思维朝着各种可能的方向扩散前进，不局限于既定的模式，从不同的角度寻找解决问题的各种可能的途径。它们即有区别，又是紧密相连不可分割的。如在解决数学问题中，解答者希望迅速确定解题方案，找出最佳答案，一般表现为集中思维；他首先要弄清题目的条件和结论，而在这个过程中就会有大量的联想产生出来，这形式表现为发散思维；接下来他就想到有几种可能的解决问题的途径，这仍表现为发散思维；然后他对一个或几个可能的途径加以检验，直到找出正确答案为止，这又表现为为集中思维。由此可见，在解决问题过程中，集中思维与发散思维往往是交替出现的。          发散思维能力的训练–––A对问题的条件进行发散B对问题的结论进行发散C对图形进行发散D对解法进行发散E发现和研究新问题。

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小学数学常用术语解析三

17.新课导入。有直接导入法、设疑导入法、故事导入法、谜语导入法、游戏导入法、情境导入法、应用导入法、演示导入法、学具导入法、温故导入法、计算导入法、类比导入法、归纳导入法、引探导入法、尝试导入法（详见小学数学培训教材）
     18．课堂提问––––归纳性提问、类比性提问、对比性提问、认识性提问、理解性提问、掌握性提问、应用性提问（同上）
     19．板书–––––表格式板书、提纲式板书、概括式板书、比较式板书、图解式板书、图示式板书、综合式板书。（同上）
     20．教法–––––在说课中，我们往往要说到教法和学法，但在实际教学中，没有一种单一的方法可以解决了一堂课，因此经常要用到以下方法。所谓教学方法，即教师在教学过程中，引导学生为完成教学目的的任务所采用的工作方法。教学方法是为教学目的服务的，由于教育的对象有同，教学内容的难易程度不一，所以教师要以正确的教育思想为指导，了解学生学习数学的特点，研究学生的学习和方法，研究教学规律，根据教学内容和学生的具体情况，灵活地选用适当的教学方法，以取得最佳的教学效果。常用的有：基本的教学方法有，讲解法、谈话法（引导性谈话、启发性谈话）、练习法、复习法、部分探讨法、阅读法、实习法、参观法、自学辅导法、直观演示法、实验操作法等。以下是综合教学法有，发现法（引导发现法）、掌握学习法、程序教学法、计算机辅助教学法、尝试教学法、分组教学法、游戏教学法、情境教学法、三算结合教学法、自学辅导教学法、六因素单元教学法、“纲要信息”图表教学法等。（详见《小学数学教学全书》P434《小数教》、《小学数学教学研究》）
     21．学法––––––数学学习的方法，从学习心理角度来看，主要有模仿、操作和发现三种。   
     具体的如：A积极自学的方法，小学数学的自学包括三处环节：课前预习 课内自学   
    课后复习。B认真听课的方法，对一个学生来说，听课是学习的中心环节。学生听课注意力集中，对知识的认识就清晰，也记得牢。在学习方法中，学会听课的方法也是极为重要的。认真听课包括看、听、想、做。即1要注意看教师的演示、板书和动作。2要注意听教师的讲课和同学的回答。3要认真想教师所讲的内容和同学回答的问题，大胆发表意见。4要认真动手操作学具和做练习。C独立思考的方法，数学是思维的体操，是思考的学问。在数学教学中，必须重视把积极思维、独立思考的方法教给学生。要使学生掌握独立思考的方法，最重要的是给学生创设积极思维、独立思考的机会。在教学中必须运用启发式教学，使学生积极、主动、自觉地学习。教师绝不能把所有的教学内容都详细的讲解，而要多提一些问题让学生思考，使学生经受一定的困难。提问时留给学生有思考的时间，鼓励学生独立思考，敢想敢说，充分发表自己的见解。整个思维活动要有材料、有方向、有系统、有法则。数学思考方法在小学阶段一般有以下十种：（1）可逆性思想（2）量不变思想（3）整体与部分思想（4）转化的思想（5）对应的思想（6）集合的思想（7）代入的思想（8）消去的思想（9）扩缩的思想（10）代数的思想。D质疑问难的方法，俗话说：“学问学问，要学要问”。学会提问题是学习方法中极重要的一种方法。教师要鼓励学生质疑问难，在课堂教学中，要安排一定的时间专门让学生提问题。学生提出问题后，可以让学生思考，也可以先讨论。E动手操作法，传统的教学法的一个缺点，往往过分强调教师系统的讲解，不大重视从实际操作开始教数学。数学的特点是抽象性，但必须建立在感性认识的基础上，形成数学概念的最初阶段，都是借助于感知在儿童思维中形成的，先把对“具体事物”的观察和接触转变成与具体事物无关的感性认识的形式，再把感性认识转变成抽象的概括。因此，认数与计算、图形认识、解答应用题都可以通过学生动手操作来学习。F专心作业的方法。独立作业是学生在学习过程中的重要一环。包括课堂作业和家庭作业。要求学生书写工整，格式符合规定。G检查验算的方法。数学计算的特点是高度的精确性和结果的唯一性。学生必须掌握自己检查核对结果的方法，这是一种重要的学习方法。在教学中，首先要使学生明确自觉验算的重要性，树立百分之百正确的观点，在实际工作中任何细小的差错，都可能造成巨大的损失。要指导学生牢固掌握检查验算的一些基本方法。及时引导学生对错题进行分析，总结教训。H课外阅读的方法。掌握学习方法光靠课内是不够的，还必须通过课外，因此必须重视指导学生课外阅读。包括使用数学工具书和有计划地介绍数学课外阅读书目。
     以上介绍的几种学习方法只是学生学习法中的一部分，教师在平时的工作中，一定要有意识的培养学生学会学习。做到“教学，教学，教学生学”。“未来的文盲不再是不识字的人，而是没有学会怎样学习的人”这段话深刻说明了掌握学习方法的重要。
    以上的学习方法可以归纳为学习能力的三大类：1、组织能力2、吸取信息的能力3、进行智力活动的能力。   
    指导学生数学基本学法的策略：小学生数学学习方法最终无非是“读、听、思、说、记、写”。但在教学中，存在着一定的缺陷，如学生不会阅读课本，不能认真听课，思考能力极差，口头表达能力差，机械记忆多，理解记忆少，书写格式混乱。所以要对学生的基本学法予以指导：1、指导“读”，①读标题，要求能提纲挈领地抓住教材主要内容。②读例题，在预习时要学生带着问题读例题。③读插图。④读算式，按算式各部分的名称读，按算式所表示的意义来读。⑤读结语。指导学生读书时，抓好三点，一是粗读，边读边圈、点、勾、画。二是精读。三是研读。即在每章节内容学完后，整理学过的知识，弄清体系，小结归纳要点，形成知识网络。2、指导“听”。首先要培养兴趣，其次，是指导学生学会听。3、引导“思”。一是从学生思维的“最近发展区”入手；二是善于变式思考；三是比较归纳，将数学知识系统化；四是教师在教学过程中，要善于暴露思维过程，留下一定的思维时间和空间，让学生学会“思在知识的转折点，思在问题的疑难处，思在矛盾的解决上，思在真理的探求中”。4、启发“说”。首先启发学生说思路，说思维过程。课堂上要让每个学生有说自己想法的机会，可以让学生根据某一问题，独自小声说，同桌之间练习说，四人小组互相说。其次，引导学生用简明、准确、规范的数学用语，完整地回答问题，在引导学生观察、分析、推理、判断后，启发学生用自己的话总结、概括出定义、法则或公式，使感性认识上升为理性认识。5、指导“记”。可以教给学生四种记忆法；①理解记忆法；②分类记忆法；③比较记忆法。6、指导“写”。数学学习中，对学生的学法指导，教师一是要指导学生学会做学习笔记；二是要指导学生将数学语言转化为数学符号；三是熟练掌握数学书写格式；四是会作图。
    22．主体参与，让学生主动参与学习过程。这是当前小学各科尤其是数学教学中最热门话题，也是当今小学数学教学改革的方向。这要求教师真正把学生看成学生的主人，是知识的探索者。有这么一句话，对我们很有启发“数学老师不要太相信自己的嘴巴，学生的知识不是讲出来的，是他自己学会的”。对此，教师一定要转变观念，要创造适合儿童的教育，而不是选拔适合教育的儿童。要树立新的教学观，教学是在教师的指导下，学生主动参与、创造发展的结果，教师主导作用发挥如何使学生主体发展上。做到给学生一杯水，并不是教师有一桶水的问题和常流水的问题，要教育学生怎样要一杯水取水。
    学生的主体地位三大特征是独立性、主动性和创造性。即做到全体学生参与，参与教学的全过程，每个环节都让学生参与。让教师外在的动力转化为学生内在的动力，提高学生获取知识的本领，可创设情境，激发兴趣，例题的教学一定让学生参与，可用尝试解答，在练习中一定要有层次性。
     具体如A、教师身上体现：主体意识（心中有学生，想着为学生）、过程意识（暴露学生的思维过程）、实践意识（各种活动让学生参与操作）和创新意识。做到（1）要求积极参与，要有良好民主的气氛，多鼓励，班里少批评（尽量用个别批评法），多表扬。（2）多问几个“为什么”“你是怎样想的”“还能怎么说”“还有什么问题”，少用或不用“是不是、会不会”。（3）不要轻易放弃学生错误回答。让学生说完整，了解错误的原因，展开讨论。引导向正确的方向发展。学生错误的回答是课堂的巨大的财富，但不要创造这种财富。（4）不要单靠语言训练来发展学生的思维。有的可以动脑和动手。因学生的思维与语言不是同步发展的，语言是有语法的，有结构的，而思维是跳跃的，是简缩的。
    主体参与的策略：1、多向沟通。生与生，师与生，做到资源共享。2、重视分层指导。教学的目标、要求、时间、练习和设计都要进行分层。3、加强操作（内部语言悄悄展开）。4、加强巩固练习。做到层次性（练习的生生命）、针对性。5、及时评价，激励评价。6、教学方法的研究转化到学法的研究。做到三导（导情、导启、导论）。7、重视“扶”。要在四个环节中给予“扶”：在学生思维受到阻碍时；转化为能力时；在新旧知识衔接的地方；知识容易混淆的地方。
    新论：以内容定学法，以学法定教法，以教法导学法。总之，做到引导学生主动参与学习过程。要做到以下四点：
    1、创设问题情境，激发学生主动参与学习的兴趣。①创设知识情境，帮助学生感受数学自身的内在美。②发现数学知识规律，引导学生欣赏数学知识的内在美。③重视知识的应用，鼓励学生创造数学知识内在美。
    2、创造学习条件，提供学生主动参与学习的机会。①让学生“尽兴”地玩，培养思维的敏捷性。②让学生愉快的说，培养思维的灵活性。③让学生认真的想，培养思维的深刻性。④让学生主动的练习，培养思维的创造性。
    3、注重学习过程，提高学生主动参与学习的质量。
    4、加强学法指导，培养学生主动参与学习的能力。教师要从说不清楚到说得清楚到不要说得很清楚。
    23．教学原则。首先是教学论对教学工作提出了一系列总的统一要求，概括形成了教学原则，这些原则适用于任何一门学科的教学即（一）科学性和思想性统一的原则；（二）理论联系实际原则（三）教师的主导作用与学生的主动性、积极性相结合的原则。（四）直观性原则（五）循序渐进原则（六）巩固性原则（七）因材施教原则。
     结合小学数学，《浙江省小学数学教学指导纲要》中提到了三条教学原则，是在教学中一定要遵循的即A重视直观，加强操作。B由易到难，循序渐进。C逐步巩固，加深理解。
    24、教学要求用语说明。认知目标分了解、理解和掌握三级。
    了解（认识、知道）：指对所学的术语、概念、性质、法则、公式等数学知识知道其含义，并能复述和辨认。指对所学的知识有感性的、初步的认识，能够说出它指的是什么，并能识别它。
    理解：指对上述知识知道其由来，能用自己的语言进行解释，并懂得相关知识之间的联系与区别。是指对所学的知识有一些理性的认识，能表达其确切含义，知道它的用途。
    掌握：是指在理解的基础上，能应用所学知识进行分析、判断、推理和计算，解决一些简单的问题。能说明一些道理。
    技能目标分学会、比较熟练和熟练三级。
    学会：指能按所学的方式、方法正确地完成测量、绘图、制作和计算等数学活动。
    比较熟练：指通过练习减少中间环节，能较快地完成上述教学活动。指对读数、写数、口算、笔算等，通过训练达到正确、比较迅速的程度。
    熟练：指能灵活迅速地独立完成上述有关活动。
    思想情感目标分感受、体验和初步具有三级。
    感受：指对数学教学中所涉及的兴趣、态度和思想品德等方面的教育有一定的体会，并取认同的心理倾向。
    体验：指对上述教育，在新情境下能主动作出相应的心理活动，并初步影响自己的行为实践。
    初步具有：指通过教学和实践活动，逐步形成较稳定的心理品质和思想观念，并能指导自己的行为实践。
    以上只是数学说课中一小部分术语，只是从理论上简单的分析了一下，在教学中，要靠教师自己努力去设计去总结。最后，一般综合说课须做到以下几点：⑴说教材⑵说教法⑶说学法⑷说教学流程。重点解决“为什么要教这些”和“为什么这样教”这两个问题。